\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{url}
\pagenumbering{gobble}
\usepackage{hyperref}

\title{ Tutorial: O problema das Flores}
\author{}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
O problema pode ser resolvido utilizando uma abordagem de \textbf{programação dinâmica}, onde calculamos o número de maneiras válidas de preencher o canteiro até cada posição, levando em conta a cor da última flor e o tamanho do bloco atual de flores consecutivas.

A restrição principal é que não podem existir mais do que \(m\) flores consecutivas da mesma cor. Isso significa que, ao adicionar uma nova flor, precisamos garantir que a sequência resultante ainda seja válida, ou seja, o número de flores consecutivas da mesma cor não ultrapasse o limite imposto.

Definimos a DP da seguinte forma:

\[
dp[i][c] = \text{número de maneiras válidas de formar um arranjo de comprimento } i \text{ cuja última flor tem cor } c
\]
onde \(c = 0\) representa a cor \texttt{V} (vermelha) e \(c = 1\) representa a cor \texttt{B} (branca).

Para calcular \(dp[i][c]\), consideramos todos os blocos possíveis de flores consecutivas da mesma cor que terminam na posição \(i\).  
Ou seja, podemos ter adicionado 1, 2, ..., até \(m\) flores consecutivas da cor \(c\), desde que o arranjo anterior termine com a cor oposta.

A função de transição é dada por:

\[
dp[i][c] = \sum_{k=1}^{m} dp[i - k][1 - c]
\]
para todo \(i \ge k\), pois estamos adicionando um bloco de \(k\) flores da cor \(c\) sobre um arranjo válido de comprimento \(i - k\) que termina com a cor oposta.

As condições base são:
\[
dp[0][0] = dp[0][1] = 1
\]
representando o caso vazio, que conta como uma configuração válida inicial para permitir as transições.

O resultado final é a soma de todos os arranjos válidos que terminam em qualquer cor:
\[
\text{Resposta} = dp[n][0] + dp[n][1]
\]

Essa solução possui complexidade de tempo \(O(n \times m)\), já que para cada posição \(i\) consideramos até \(m\) comprimentos de blocos consecutivos possíveis.  
O espaço necessário é \(O(n)\), podendo ser otimizado para \(O(m)\) se apenas os estados recentes forem mantidos.\end{document}
