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decode-ways/arthur-dolival-decode-ways-tutorial.tex

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+\documentclass[10pt]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
+\usepackage{fullpage}
+\usepackage{url}
+\pagenumbering{gobble}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{graphicx}
+\input{statement/preamble.tex}
+
+\title{ Tutorial: Decodificando Mensagens}
+\author{Leetcode 91}
+\date{}
+\begin{document}
+\maketitle
+O problema pode ser resolvido utilizando uma abordagem de \textbf{programação dinâmica}, na qual calculamos, passo a passo, o número de formas possíveis de decodificar a sequência até cada posição.
+
+\subsection*{Modelagem}
+
+Cada dígito (ou par de dígitos consecutivos) da sequência pode representar uma letra do alfabeto latino, seguindo a regra:
+\[
+1 \rightarrow A, \quad 2 \rightarrow B, \quad \ldots, \quad 26 \rightarrow Z
+\]
+Portanto, precisamos contar todas as maneiras válidas de interpretar a sequência numérica, considerando que apenas combinações entre $1$ e $26$ são válidas.
+
+\subsection*{Definição da DP}
+
+Definimos uma estrutura de DP com dois estados para cada posição $i$:
+\begin{itemize}
+    \item $dp[i][0]$: número de mensagens possíveis terminando no caractere $i$ \textbf{quando o dígito atual não é concatenado} com o anterior;
+    \item $dp[i][1]$: número de mensagens possíveis terminando no caractere $i$ \textbf{quando o dígito atual é concatenado} com o anterior.
+\end{itemize}
+
+\subsection*{Função de Transição}
+
+A função de transição é definida da seguinte forma:
+\[
+dp[i][0] =
+\begin{cases}
+dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1], & \text{se } 1 \leq s[i] \leq 9 \\[6pt]
+0, & \text{caso contrário}
+\end{cases}
+\]
+
+\[
+dp[i][1] =
+\begin{cases}
+dp[i - 2][0] + dp[i - 2][1], & \text{se } 10 \leq 10 \cdot s[i-1] + s[i] \leq 26 \\[6pt]
+0, & \text{caso contrário}
+\end{cases}
+\]
+
+\subsection*{Casos Base}
+
+Os casos base são:
+\[
+dp[0][0] = 1, \quad dp[0][1] = 0, \quad dp[1][0] = 1, \quad dp[1][1] = 0
+\]
+Isso ocorre porque, antes de processar qualquer caractere, há exatamente uma maneira “vazia” de formar uma mensagem válida, e o primeiro dígito pode, no máximo, representar uma única letra isolada.
+
+\subsection*{Resposta Final}
+
+O total de formas possíveis de decodificar a sequência é dado por:
+\[
+dp[n][0] + dp[n][1]
+\]
+onde $n$ é o comprimento da sequência de entrada.
+
+\subsection*{Complexidade}
+
+\begin{itemize}
+    \item \textbf{Tempo:} $O(n)$, pois cada caractere é processado uma única vez;
+    \item \textbf{Espaço:} $O(n)$, podendo ser otimizado para $O(1)$ ao armazenar apenas os últimos dois estados.
+\end{itemize}\end{document}

decode-ways/arthur-dolival-decode-ways.tex

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+\documentclass{maratona}
+
+\begin{document}
+\begin{ProblemaAutor}{}{Decodificando Mensagens}{1}{256}{Leetcode 91}
+
+O problema consiste em determinar o número de maneiras possíveis de decodificar uma sequência numérica, onde cada número ou par de números representa uma letra do alfabeto latino. 
+A correspondência segue a regra \( 1 \rightarrow A, 2 \rightarrow B, \ldots, 26 \rightarrow Z \). 
+Cada dígito ou combinação de dois dígitos consecutivos pode ser convertido em uma letra válida, desde que a sequência resultante obedeça às restrições de decodificação. 
+O objetivo é calcular o total de maneiras diferentes de decodificar a sequência numérica fornecida.
+
+\Entrada
+
+A entrada é composta por duas linhas. 
+A primeira linha contém um inteiro \( n \) (\( 1 \leq n \leq 100 \)), representando o tamanho da sequência numérica. 
+A segunda linha contém uma sequência de digitos de \( s \) de comprimento \( n \).
+
+\Saida
+
+A saída deve conter um único inteiro, representando o número total de maneiras possíveis de decodificar a sequência numérica \( s \) de acordo com o mapeamento \( 1 \rightarrow A, 2 \rightarrow B, \ldots, 26 \rightarrow Z \).
+
+\ExemploEntrada
+
+\begin{Exemplo}
+\texttt{2} & \texttt{2}\\
+\texttt{12} & \\
+\rowcolor{gray!20}\texttt{3} & \texttt{3}\\
+\rowcolor{gray!20}\texttt{226} & \\
+\texttt{2} & \texttt{0}\\
+\texttt{06} & \\
+\end{Exemplo}
+
+
+
+\Notas
+
+Para a sequência \( s = "12" \), existem duas decodificações possíveis: "AB" (1, 2) e "L" (12). 
+Para a sequência \( s = "226" \), há três decodificações possíveis: "BZ" (2, 26), "VF" (22, 6) e "BBF" (2, 2, 6). 
+Para a sequência \( s = "06" \), não há nenhuma forma válida de decodificação.\end{ProblemaAutor}
+\end{document}