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estouro/arthur-dolival-estouro-tutorial.tex

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+\documentclass[10pt]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
+\usepackage{fullpage}
+\usepackage{url}
+\pagenumbering{gobble}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{graphicx}
+\input{statement/preamble.tex}
+
+\title{ Tutorial: Estouro}
+\author{Leetcode 312}
+\date{}
+\begin{document}
+\maketitle
+\section{Solução do Problema}
+
+O problema de maximizar a energia ao estourar balões pode ser resolvido de forma eficiente por meio de \textbf{programação dinâmica em intervalos}. A grande sacada para modelar este problema é pensar no processo de trás para frente: em vez de tentar adivinhar qual balão estourar primeiro, o que muda constantemente os vizinhos dos balões restantes, escolhemos qual será o \textbf{último balão} a ser estourado em um determinado subintervalo. 
+
+Para lidar com as bordas da fileira sem precisar de múltiplos \texttt{if}s, adicionamos balões virtuais com valor $1$ nas extremidades.
+
+\subsection{Definição do Subproblema}
+
+Seja a nossa fileira de balões original de tamanho $N$. Criamos um novo vetor $B$ de tamanho $N+2$, onde $B[0] = 1$, $B[N+1] = 1$, e as posições de $1$ a $N$ recebem os valores fornecidos.
+	
+Definimos o nosso estado da programação dinâmica como:
+
+$$dp[i][j] = \text{a quantidade máxima de energia obtida ao estourar todos os balões no intervalo } [i, j].$$
+
+Assim, $dp[1][N]$ representará a nossa resposta ótima, correspondente ao intervalo que engloba todos os balões reais.
+
+\subsection{Função de Transição}
+
+Para calcular $dp[i][j]$, vamos iterar por um pivô $k$ (com $i \le k \le j$) que representa o \textbf{último balão} a ser estourado dentro desse subintervalo. 
+	
+Como $k$ é o último a sobreviver entre $i$ e $j$, todos os outros balões internos já foram estourados. Consequentemente, no exato momento da explosão de $k$, seus vizinhos diretos garantidamente serão $B[i-1]$ e $B[j+1]$. A energia liberada por esse estopim final será $B[i-1] \times B[k] \times B[j+1]$.
+	
+O valor total do intervalo será a soma da energia desse balão $k$ com as energias máximas dos subproblemas que o antecederam na ordem cronológica de explosão: o intervalo à esquerda ($i$ até $k-1$) e o intervalo à direita ($k+1$ até $j$). Portanto:
+
+$$dp[i][j] = \max_{i \le k \le j} \big( dp[i][k-1] + B[i-1] \cdot B[k] \cdot B[j+1] + dp[k+1][j] \big)$$
+
+\subsection{Casos Base}
+
+Os casos base da nossa recursão (ou inicialização da matriz) ocorrem para intervalos vazios, ou seja, quando o índice de início ultrapassa o índice de fim ($i > j$). Nesses casos, como não há balões para estourar, a energia liberada é naturalmante nula:
+
+$$dp[i][j] = 0 \quad \text{para todo } i > j$$
+
+Como a implementação iterativa inicializa a matriz completa com zeros, essa condição já é suprida por padrão.
+
+\subsection{Recuperação da Decomposição (Ordem das explosões)}
+
+Para além da energia máxima $dp[1][N]$, frequentemente queremos também a sequência de explosões que atinge esse valor. Para isso, mantemos uma matriz auxiliar \texttt{cut[i][j]} durante a computação, que armazena o índice $k$ responsável pelo maior ganho em $dp[i][j]$. 
+
+Após preencher $dp$ e \texttt{cut}, criamos uma função recursiva para reconstruir a resposta. Ao chamarmos a função para o intervalo $[1, N]$, descobrimos o pivô $k = \texttt{cut}[1][N]$. Sabemos que $k$ é o \textit{último} balão estourado. Em seguida, chamamos recursivamente para os subintervalos $[1, k-1]$ e $[k+1, N]$. Ao empilharmos esses balões, obtemos a sequência cronológica invertida; basta inverter a lista no final para obtermos a sequência exata das explosões.\end{document}

estouro/arthur-dolival-estouro.tex

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+\documentclass{maratona}
+
+\begin{document}
+\begin{ProblemaAutor}{}{Estouro}{1}{256}{Leetcode 312}
+
+No laboratório de experimentos caóticos da \textbf{Fábrica de Balões Numéricos}, um cientista excêntrico te entrega uma fileira de balões, cada um pintado com um número inteiro positivo.
+
+A regra do experimento é simples, ou pelo menos parece: você deve estourar todos os balões.  
+Porém, o nível de energia liberado em cada explosão depende dos balões que ainda restam ao redor.
+
+Ao estourar o balão $i$, o experimento libera uma quantidade de energia igual a  
+\texttt{valor\_do\_balão[i-1] * valor\_do\_balão[i] * valor\_do\_balão[i+1]}.  
+Se algum dos vizinhos ($i-1$ ou $i+1$) não existir, imagine que há um balão virtual com o número $1$ nas extremidades.
+
+Cada explosão altera completamente o arranjo restante, tornando o resultado imprevisível, a ordem em que você estoura os balões é crucial.
+
+Sua missão é descobrir a \textbf{máxima quantidade total de energia} que pode ser liberada, escolhendo com sabedoria a sequência das explosões.
+
+\Entrada
+
+A primeira linha contém um inteiro $n$ ($1 \leq n \leq 300$), o número de balões.
+
+A segunda linha contém $n$ inteiros $b_1, b_2, \ldots, b_n$ ($0 \leq b_i \leq 100$),  
+onde $b_i$ representa o número pintado no $i$-ésimo balão.
+
+\Saida
+
+Imprima um único inteiro, a \textbf{quantidade máxima total de energia} que pode ser liberada  
+ao estourar todos os balões na melhor ordem possível.
+
+\ExemploEntrada
+
+\begin{Exemplo}
+\texttt{4} & \texttt{167}\\
+\texttt{3~1~5~8} & \\
+\rowcolor{gray!20}\texttt{2} & \texttt{10}\\
+\rowcolor{gray!20}\texttt{1~5} & \\
+\end{Exemplo}
+
+
+
+\Notas
+
+No primeiro exemplo, ao estourar os balões na ordem ótima, a sequência de energias liberadas é:
+$3 \times 1 \times 5 + 3 \times 5 \times 8 + 1 \times 3 \times 8 + 1 \times 8 \times 1 = 167$.
+Portanto, o total máximo de energia é $167$.
+
+No segundo exemplo, independentemente da ordem escolhida, a energia total liberada é
+$1 \times 1 \times 5 + 1 \times 5 \times 1 = 10$.\end{ProblemaAutor}
+\end{document}