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flowers/arthur-dolival-flowers-tutorial.tex

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+\documentclass[10pt]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
+\usepackage{fullpage}
+\usepackage{url}
+\pagenumbering{gobble}
+\usepackage{hyperref}
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+\input{statement/preamble.tex}
+
+\title{ Tutorial: O problema das Flores}
+\author{}
+\date{}
+\begin{document}
+\maketitle
+O problema pode ser resolvido utilizando uma abordagem de \textbf{programação dinâmica}, onde calculamos o número de maneiras válidas de preencher o canteiro até cada posição, levando em conta a cor da última flor e o tamanho do bloco atual de flores consecutivas.
+
+A restrição principal é que não podem existir mais do que \(m\) flores consecutivas da mesma cor. Isso significa que, ao adicionar uma nova flor, precisamos garantir que a sequência resultante ainda seja válida, ou seja, o número de flores consecutivas da mesma cor não ultrapasse o limite imposto.
+
+Definimos a DP da seguinte forma:
+
+\[
+dp[i][c] = \text{número de maneiras válidas de formar um arranjo de comprimento } i \text{ cuja última flor tem cor } c
+\]
+onde \(c = 0\) representa a cor \texttt{V} (vermelha) e \(c = 1\) representa a cor \texttt{B} (branca).
+
+Para calcular \(dp[i][c]\), consideramos todos os blocos possíveis de flores consecutivas da mesma cor que terminam na posição \(i\).  
+Ou seja, podemos ter adicionado 1, 2, ..., até \(m\) flores consecutivas da cor \(c\), desde que o arranjo anterior termine com a cor oposta.
+
+A função de transição é dada por:
+
+\[
+dp[i][c] = \sum_{k=1}^{m} dp[i - k][1 - c]
+\]
+para todo \(i \ge k\), pois estamos adicionando um bloco de \(k\) flores da cor \(c\) sobre um arranjo válido de comprimento \(i - k\) que termina com a cor oposta.
+
+As condições base são:
+\[
+dp[0][0] = dp[0][1] = 1
+\]
+representando o caso vazio, que conta como uma configuração válida inicial para permitir as transições.
+
+O resultado final é a soma de todos os arranjos válidos que terminam em qualquer cor:
+\[
+\text{Resposta} = dp[n][0] + dp[n][1]
+\]
+
+Essa solução possui complexidade de tempo \(O(n \times m)\), já que para cada posição \(i\) consideramos até \(m\) comprimentos de blocos consecutivos possíveis.  
+O espaço necessário é \(O(n)\), podendo ser otimizado para \(O(m)\) se apenas os estados recentes forem mantidos.\end{document}

flowers/arthur-dolival-flowers.tex

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+\documentclass{maratona}
+
+\begin{document}
+\begin{ProblemaAutor}{}{O problema das Flores}{1}{256}{}
+
+O Jardineiro Bino é conhecido por seus canteiros de flores meticulosamente planejados. Este ano, ele decidiu criar um canteiro linear de comprimento \(n\). Para cada uma das \(n\) posições no canteiro, Bino plantará exatamente uma flor, que pode ser ou vermelha (V) ou branca (B).
+
+Bino é um artista, e a estética é sua principal preocupação. Ele acredita que a beleza surge da variação, mas também da harmonia. Após muita deliberação, ele estabeleceu uma regra de ouro para seu jardim: \textbf{nunca devem existir mais do que \(m\) flores consecutivas da mesma cor}.
+
+Por exemplo, se \(n=5\) e \(m=2\), uma sequência como \texttt{V V B V V} é perfeitamente válida. No entanto, uma sequência como \texttt{V B B B V} é \emph{inválida}, pois contém um bloco de 3 flores brancas (\texttt{B B B}), o que excede o limite \(m=2\). Da mesma forma, \texttt{V V V V B} também é inválida por conter 4 flores vermelhas consecutivas.
+
+Bino está planejando o jardim e quer saber quantas opções de design ele realmente tem. Seu desafio é ajudar Bino a determinar o número total de arranjos distintos que ele pode criar para seu canteiro de comprimento \(n\), respeitando estritamente sua regra de monotonia (o limite de \(m\)).
+
+\Entrada
+
+A entrada contém dois inteiros separados por espaço, \(n\) e \(m\), onde \(n\) (\(1 \leq n \leq 10\,000\)) é o comprimento da sequência de flores e  \(m\) (\(1 \leq m \leq 1\,000\)) é o número máximo permitido de flores iguais consecutivas.
+
+\Saida
+
+Imprima um único número inteiro: o número total de sequências de flores válidas de comprimento \(n\) que satisfazem a restrição de Bino.
+
+Como este número pode ser extremamente grande, sua resposta deve ser calculada e impressa \textbf{módulo \(10^9 + 7\)}.
+
+\ExemploEntrada
+
+\begin{Exemplo}
+\texttt{1~1} & \texttt{2}\\
+\rowcolor{gray!20}\texttt{2~2} & \texttt{4}\\
+\texttt{2~1} & \texttt{2}\\
+\end{Exemplo}
+
+
+
+\Notas
+
+Caso de teste 1: \(n=1, m=1\).  
+Para uma sequência de comprimento 1 existem duas opções: {vermelha} ou {branca}. Portanto, o número de sequências válidas é 2.
+
+Caso de teste 2: \(n=2, m=2\).  
+Como \(m \ge 2\), não há restrição efetiva para \(n=2\) além de que cada posição pode ser vermelha ou branca. Assim todas as \(2^2 = 4\) sequências são válidas.\end{ProblemaAutor}
+\end{document}