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flowers/arthur-dolival-flowers-tutorial.tex

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+\documentclass[10pt]{article}
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+\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
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+\pagenumbering{gobble}
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+
+\title{ Tutorial: O problema das Flores}
+\author{}
+\date{}
+\begin{document}
+\maketitle
+O problema pode ser resolvido utilizando uma abordagem de \textbf{programação dinâmica}, onde calculamos o número de maneiras válidas de preencher o canteiro até cada posição, levando em conta a cor da última flor e o tamanho do bloco atual de flores consecutivas.
+
+A restrição principal é que não podem existir mais do que \(m\) flores consecutivas da mesma cor. Isso significa que, ao adicionar uma nova flor, precisamos garantir que a sequência resultante ainda seja válida, ou seja, o número de flores consecutivas da mesma cor não ultrapasse o limite imposto.
+
+Definimos a DP da seguinte forma:
+
+\[
+dp[i][c] = \text{número de maneiras válidas de formar um arranjo de comprimento } i \text{ cuja última flor tem cor } c
+\]
+onde \(c = 0\) representa a cor \texttt{V} (vermelha) e \(c = 1\) representa a cor \texttt{B} (branca).
+
+Para calcular \(dp[i][c]\), consideramos todos os blocos possíveis de flores consecutivas da mesma cor que terminam na posição \(i\).  
+Ou seja, podemos ter adicionado 1, 2, ..., até \(m\) flores consecutivas da cor \(c\), desde que o arranjo anterior termine com a cor oposta.
+
+A função de transição é dada por:
+
+\[
+dp[i][c] = \sum_{k=1}^{m} dp[i - k][1 - c]
+\]
+para todo \(i \ge k\), pois estamos adicionando um bloco de \(k\) flores da cor \(c\) sobre um arranjo válido de comprimento \(i - k\) que termina com a cor oposta.
+
+As condições base são:
+\[
+dp[0][0] = dp[0][1] = 1
+\]
+representando o caso vazio, que conta como uma configuração válida inicial para permitir as transições.
+
+O resultado final é a soma de todos os arranjos válidos que terminam em qualquer cor:
+\[
+\text{Resposta} = dp[n][0] + dp[n][1]
+\]
+
+Essa solução possui complexidade de tempo \(O(n \times m)\), já que para cada posição \(i\) consideramos até \(m\) comprimentos de blocos consecutivos possíveis.  
+O espaço necessário é \(O(n)\), podendo ser otimizado para \(O(m)\) se apenas os estados recentes forem mantidos.\end{document}