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min-sum-path-2d/arthur-dolival-min-sum-path-2d-tutorial.tex

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+\documentclass[10pt]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
+\usepackage{fullpage}
+\usepackage{url}
+\pagenumbering{gobble}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{graphicx}
+\input{statement/preamble.tex}
+
+\title{ Tutorial: Caminho de Menor Soma}
+\author{}
+\date{}
+\begin{document}
+\maketitle
+\section{Solução do Problema}
+
+O problema consiste em encontrar o \textbf{menor custo} necessário para percorrer uma grade (\textit{matriz}) de inteiros positivos.  
+A grade possui \( n \) linhas e \( m \) colunas, e cada célula contém um número positivo que representa o custo de passar por ela.
+
+O objetivo é sair da célula \textbf{superior esquerda} da grade e chegar à célula \textbf{inferior direita}, movendo-se apenas para a \textbf{direita} ou para \textbf{baixo}.  
+A soma dos valores das células visitadas deve ser a menor possível.
+
+Este problema pode ser resolvido de forma eficiente utilizando \textbf{programação dinâmica}.
+
+\subsection{Definição do Subproblema}
+
+Seja uma matriz de custos \( C \) de tamanho \( n \times m \). Definimos:
+
+\[
+dp[i][j] = \text{o menor custo para chegar à célula } (i,j) \text{ a partir de } (0,0).
+\]
+
+Ou seja, \( dp[i][j] \) representa o custo mínimo para alcançar exatamente a posição \( (i, j) \).
+
+\subsection{Função de Transição}
+
+Como só é possível mover-se para a \textbf{direita} ou para \textbf{baixo}, a célula \( (i,j) \) só pode ser alcançada a partir de:
+
+\begin{itemize}
+    \item \( (i-1, j) \): movimento vindo de \textbf{cima};
+    \item \( (i, j-1) \): movimento vindo da \textbf{esquerda}.
+\end{itemize}
+
+Assim, o custo mínimo para chegar a \( (i,j) \) é dado por:
+
+\[
+dp[i][j] = C[i][j] + \min(dp[i-1][j],\ dp[i][j-1]).
+\]
+
+\subsection{Casos Base}
+
+\begin{itemize}
+    \item Primeira célula:
+    \[
+    dp[0][0] = C[0][0]
+    \]
+    \item Primeira linha (somente movimentos para a direita):
+    \[
+    dp[0][j] = dp[0][j-1] + C[0][j]
+    \]
+    \item Primeira coluna (somente movimentos para baixo):
+    \[
+    dp[i][0] = dp[i-1][0] + C[i][0]
+    \]
+\end{itemize}
+
+\subsection{Construção da Tabela}
+
+Após inicializar os casos base, preenchermos o restante da matriz \( dp \) utilizando:
+
+\[
+dp[i][j] = C[i][j] + \min(dp[i-1][j],\ dp[i][j-1]).
+\]
+
+Ao término do processo, o valor da última posição:
+
+\[
+dp[n-1][m-1]
+\]
+
+representa o \textbf{menor custo possível} para ir da célula inicial até a célula final.\end{document}

min-sum-path-2d/arthur-dolival-min-sum-path-2d.tex

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+\documentclass{maratona}
+
+\begin{document}
+\begin{ProblemaAutor}{}{Caminho de Menor Soma}{1}{256}{}
+
+O problema consiste em encontrar o menor custo possível para percorrer uma grade de inteiros positivos.
+A grade possui \( n \) linhas e \( m \) colunas, e cada célula contém um valor inteiro positivo que representa o custo de passar por ela.
+
+O objetivo é sair da célula superior esquerda da grade e chegar à célula inferior direita, movendo-se apenas para a direita ou para baixo.
+A soma dos valores das células visitadas deve ser a menor possível.
+
+\Entrada
+
+A entrada é composta por \( n + 1 \) linhas. Na primeira linha, há dois inteiros \( n \) e \( m \) (\( 1 \leq n, m \leq 1000 \)), representando respectivamente o número de linhas e de colunas da grade.
+Cada uma das próximas \( n \) linhas contém \( m \) inteiros \( a_{i,j} \) (\( 1 \leq a_{i,j} \leq 100 \)), representando o custo da célula na linha \( i \) e coluna \( j \).
+
+\Saida
+
+Imprima um único inteiro representando o menor custo total para ir da célula superior esquerda até a célula inferior direita, movendo-se apenas para a direita ou para baixo.
+
+\ExemploEntrada
+
+\begin{Exemplo}
+\texttt{1~1} & \texttt{5}\\
+\texttt{5} & \\
+\rowcolor{gray!20}\texttt{2~2} & \texttt{7}\\
+\rowcolor{gray!20}\texttt{1~3} & \\
+\rowcolor{gray!20}\texttt{2~4} & \\
+\texttt{3~3} & \texttt{21}\\
+\texttt{1~2~3} & \\
+\texttt{4~5~6} & \\
+\texttt{7~8~9} & \\
+\end{Exemplo}
+
+
+
+\end{ProblemaAutor}
+\end{document}