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vacations/arthur-dolival-vacations-tutorial.tex

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+\documentclass[10pt]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
+\usepackage{fullpage}
+\usepackage{url}
+\pagenumbering{gobble}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{graphicx}
+\input{statement/preamble.tex}
+
+\title{ Tutorial: Férias}
+\author{Codeforces 363 (Div. 1)}
+\date{}
+\begin{document}
+\maketitle
+\section{Solução do Problema}
+
+O problema de planejar as férias de Miguel para minimizar os dias de descanso, respeitando a regra de não repetir a mesma atividade física ou mental em dias consecutivos, pode ser resolvido de forma muito eficiente usando \textbf{programação dinâmica}. A intuição é que a decisão do que fazer no dia atual depende exclusivamente da disponibilidade de atividades no dia e do que Miguel escolheu fazer no dia imediatamente anterior.
+
+\subsection{Definição do Subproblema}
+
+Como a restrição olha apenas para a atividade do dia anterior, precisamos carregar essa informação no nosso estado. Definimos o nosso estado da programação dinâmica como:
+
+dp[i][j] = \text{o número mínimo de dias de descanso acumulados até o dia } i, \text{ dado que a atividade escolhida no dia } i \text{ foi } j.
+
+Mapeamos os possíveis valores de $j$ (as escolhas de Miguel) da seguinte forma:
+\begin{itemize}
+    \item $j = 0$: Descansar
+    \item $j = 1$: Participar de uma competição
+    \item $j = 2$: Ir à academia
+\end{itemize}
+
+A resposta final para o problema será o menor valor entre todas as atividades possíveis no último dia de férias: $\min(dp[n][0], dp[n][1], dp[n][2])$.
+
+\subsection{Função de Transição}
+
+Para calcular as opções do dia $i$, olhamos para os melhores resultados alcançados no dia $i-1$ e verificamos o que o calendário ($A[i]$) nos permite fazer hoje.
+
+\textbf{1. Descansar ($j = 0$):} 
+Miguel sempre pode descansar em qualquer dia, independentemente do que ele fez ontem. Como descansar adiciona $1$ ao nosso contador de dias de descanso, a transição é:
+$$dp[i][0] = \min \big( dp[i-1][0], dp[i-1][1], dp[i-1][2] \big) + 1$$
+
+\textbf{2. Competir ($j = 1$):}
+Miguel só pode competir se houver competição hoje ($A[i] == 1$ ou $A[i] == 3$). Além disso, ele não pode ter competido ontem. Logo, os estados válidos anteriores são apenas descanso ($0$) ou academia ($2$):
+$$dp[i][1] = \min \big( dp[i-1][0], dp[i-1][2] \big)$$
+\textit{Se não houver competição hoje, definimos o estado como inalcançável ($dp[i][1] = \infty$).}
+
+\textbf{3. Ir à academia ($j = 2$):}
+De forma análoga, Miguel só pode treinar se a academia estiver aberta ($A[i] == 2$ ou $A[i] == 3$) e se ele não tiver ido à academia ontem. Os estados válidos anteriores são descanso ($0$) ou competição ($1$):
+$$dp[i][2] = \min \big( dp[i-1][0], dp[i-1][1] \big)$$
+\textit{Se a academia estiver fechada hoje, definimos o estado como inalcançável ($dp[i][2] = \infty$).}
+
+\subsection{Casos Base}
+
+Para que as transições do primeiro dia de férias ($i = 1$) funcionem corretamente, inicializamos o dia $0$ (o momento anterior ao início das férias). 
+
+Como antes das férias começarem não há nenhum dia de descanso acumulado, independentemente da atividade "fictícia" que possamos imaginar, zeramos os estados iniciais:
+
+$$dp[0][0] = 0$$
+$$dp[0][1] = 0$$
+$$dp[0][2] = 0$$\end{document}

vacations/arthur-dolival-vacations.tex

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+\documentclass{maratona}
+
+\begin{document}
+\begin{ProblemaAutor}{}{Férias}{1}{256}{Codeforces 363 (Div. 1)}
+
+Miguel tem \(n\) dias de férias e pretende aproveitá-los para estudar programação e também praticar esportes. Para cada um desses dias, ele sabe antecipadamente duas informações: se a academia estará aberta e se haverá uma competição online disponível. Assim, cada dia se enquadra em uma das quatro situações possíveis: sem academia e sem competição, sem academia mas com competição, com academia mas sem competição, ou com ambos disponíveis.
+
+Em cada dia, Miguel deve escolher exatamente uma ação: descansar, participar da competição (caso ele exista naquele dia) ou ir à academia (caso esteja aberta). Seu objetivo é descansar o mínimo possível. No entanto, ele impõe a si mesmo uma regra importante: \textbf{não repetir a mesma atividade em dias consecutivos}. Em outras palavras, Miguel não aceita fazer esporte dois dias seguidos, nem participar de competições em dias consecutivos, embora descansar possa ocorrer repetidamente sem qualquer restrição.
+
+Dado o calendário das férias, determine o menor número de dias de descanso que Miguel será obrigado a ter.
+
+\Entrada
+
+A primeira linha contém um inteiro positivo \(n\) (\(1 \le n \le 100\)), o número de dias de férias.
+
+A segunda linha contém \(n\) inteiros \(a_1, a_2, \dots, a_n\) (\(0 \le a_i \le 3\)), separados por espaços, onde cada \(a_i\) descreve as opções do \(i\)-ésimo dia:
+\begin{itemize}
+    \item \(a_i = 0\): academia fechada e sem competição;
+    \item \(a_i = 1\): academia fechada e há competição;
+    \item \(a_i = 2\): academia aberta e sem competição;
+    \item \(a_i = 3\): academia aberta e há competição.
+\end{itemize}
+
+\Saida
+
+A saída consiste de um único número inteiro, o número mínimo possível de dias em que Miguel terá que descansar, obedecendo à restrição de não repetir a mesma atividade em dias consecutivos.
+
+\ExemploEntrada
+
+\begin{Exemplo}
+\texttt{4} & \texttt{2}\\
+\texttt{1~3~2~0} & \\
+\rowcolor{gray!20}\texttt{7} & \texttt{0}\\
+\rowcolor{gray!20}\texttt{1~3~3~2~1~2~3} & \\
+\texttt{2} & \texttt{1}\\
+\texttt{2~2} & \\
+\end{Exemplo}
+
+
+
+\Notas
+
+No primeiro caso de teste, Miguel pode participar da competição no dia 1 e ir à academia no dia 3. Descansando nos dias 2 e 4.
+
+No segundo caso de teste, Miguel pode participar da competição nos dias 1, 3, 5 e 7 e ir à academia nos demais.
+
+No terceiro caso de teste, como Miguel não pode ir à academia em dois dias seguidos ele será obrigado a descansar em um dos dias.\end{ProblemaAutor}
+\end{document}