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decode-ways/decode-ways-tutorial.tex

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 \maketitle
 O problema pode ser resolvido utilizando uma abordagem de \textbf{programação dinâmica}, na qual calculamos, passo a passo, o número de formas possíveis de decodificar a sequência até cada posição.
 
-A ideia é que cada dígito (ou par de dígitos consecutivos) da sequência pode representar uma letra do alfabeto latino, desde que o valor correspondente esteja entre $1$ e $26$. Assim, precisamos contar todas as maneiras válidas de interpretar a sequência numérica.
+\subsection*{Modelagem}
+
+Cada dígito (ou par de dígitos consecutivos) da sequência pode representar uma letra do alfabeto latino, seguindo a regra:
+\[
+1 \rightarrow A, \quad 2 \rightarrow B, \quad \ldots, \quad 26 \rightarrow Z
+\]
+Portanto, precisamos contar todas as maneiras válidas de interpretar a sequência numérica, considerando que apenas combinações entre $1$ e $26$ são válidas.
+
+\subsection*{Definição da DP}
 
 Definimos uma estrutura de DP com dois estados para cada posição $i$:
 \begin{itemize}
@@ -21,31 +29,44 @@ Definimos uma estrutura de DP com dois estados para cada posição $i$:
     \item $dp[i][1]$: número de mensagens possíveis terminando no caractere $i$ \textbf{quando o dígito atual é concatenado} com o anterior.
 \end{itemize}
 
-A transição entre os estados é definida da seguinte forma:
-\begin{itemize}
-    \item Se o dígito atual $s[i]$ está entre $1$ e $9$, ele pode ser interpretado como uma letra individual. Logo:
-    \[
-    dp[i][0] = dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1]
-    \]
-    \item Se a combinação dos dois últimos dígitos $s[i-1]s[i]$ forma um número entre $10$ e $26$, então esses dois dígitos podem ser interpretados como uma única letra:
-    \[
-    dp[i][1] = dp[i - 2][0] + dp[i - 2][1]
-    \]
-\end{itemize}
+\subsection*{Função de Transição}
 
-A base da recorrência é:
+A função de transição é definida da seguinte forma:
+\[
+dp[i][0] =
+\begin{cases}
+dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1], & \text{se } 1 \leq s[i] \leq 9 \\[6pt]
+0, & \text{caso contrário}
+\end{cases}
+\]
+
+\[
+dp[i][1] =
+\begin{cases}
+dp[i - 2][0] + dp[i - 2][1], & \text{se } 10 \leq 10 \cdot s[i-1] + s[i] \leq 26 \\[6pt]
+0, & \text{caso contrário}
+\end{cases}
+\]
+
+\subsection*{Casos Base}
+
+Os casos base são:
 \[
 dp[0][0] = 1, \quad dp[0][1] = 0, \quad dp[1][0] = 1, \quad dp[1][1] = 0
 \]
-pois antes de processar qualquer caractere há exatamente uma maneira “vazia” de formar uma mensagem válida, e o primeiro dígito pode, no máximo, representar uma única letra isolada.
+Isso ocorre porque, antes de processar qualquer caractere, há exatamente uma maneira “vazia” de formar uma mensagem válida, e o primeiro dígito pode, no máximo, representar uma única letra isolada.
 
-O resultado final é dado pela soma:
+\subsection*{Resposta Final}
 
+O total de formas possíveis de decodificar a sequência é dado por:
 \[
 dp[n][0] + dp[n][1]
 \]
-
 onde $n$ é o comprimento da sequência de entrada.
 
-Essa solução possui complexidade de tempo e espaço $O(n)$, podendo ser otimizada para $O(1)$ espaço se armazenarmos apenas os últimos dois estados necessários para o cálculo.
-\end{document}
+\subsection*{Complexidade}
+
+\begin{itemize}
+    \item \textbf{Tempo:} $O(n)$, pois cada caractere é processado uma única vez;
+    \item \textbf{Espaço:} $O(n)$, podendo ser otimizado para $O(1)$ ao armazenar apenas os últimos dois estados.
+\end{itemize}\end{document}