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rod-cutting/statement/tutorial.tex

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+\section{Solução do Problema}
+
+O problema do corte de barras (\textit{Rod Cutting}) pode ser resolvido de forma eficiente por meio de \textbf{programação dinâmica}.  
+A ideia é decompor o problema em subproblemas menores: para cada comprimento \(L\) queremos saber qual é a melhor receita máxima que podemos obter cortando (ou não cortando) uma barra de comprimento \(L\).
+
+\subsection{Definição do Subproblema}
+
+Seja \(p[1 \dots n]\) o vetor de preços onde \(p[i]\) é o preço de vender um pedaço de comprimento \(i\).  
+Definimos:
+
+\[
+dp[L] = \text{o maior receita obtida cortando uma barra de comprimento } L.
+\]
+
+Assim, \(dp[L]\) representa a resposta ótima para uma barra de tamanho \(L\).
+
+\subsection{Função de Transição}
+
+Para determinar \(dp[L]\) consideramos a primeira peça que retiramos da barra: se escolhemos cortar uma peça de tamanho \(x\) (com \(1 \le x \le L\)), obtemos imediatamente o preço \(p[x]\) e ficamos com o subproblema da barra restante de tamanho \(L-x\), cujo melhor valor é \(dp[L-x]\). Logo:
+
+\[
+dp[L] = \max_{1 \le x \le L} \big( p[x] + dp[L-x] \big).
+\]
+
+Em particular, se não fizermos cortes (i.e., vendermos a barra inteira), isso corresponde ao caso \(x=L\) e é coberto pela fórmula acima.
+
+\subsection{Casos Base}
+
+O caso base é natural:
+
+\[
+dp[0] = 0,
+\]
+
+isto é, uma barra de comprimento zero tem receita zero.
+
+\subsection{Recuperação da Decomposição (pedaços)}
+
+Para além do valor máximo \(dp[n]\), frequentemente queremos também uma decomposição concreta (lista de comprimentos dos pedaços) que atinja esse valor. Para isso mantemos, durante a computação de \(dp\), um vetor auxiliar \texttt{cut[L]} que armazena o tamanho \(x\) do primeiro pedaço que produz o ótimo para \(dp[L]\). Após preencher \(dp\) e \texttt{cut}, reconstruímos os pedaços repetindo a operação: tomar \(x=\texttt{cut}[L]\), imprimir \(x\), e reduzir \(L \leftarrow L - x\), até \(L=0\).