feat: new graph problem partially formatted.

pique-pega/statement/description.tex

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+No grande Arraiá de São João, o aguardado Casamento Caipira virou uma tremenda confusão!
+O \textbf{Noivo} entrou em pânico na hora do "sim" e fugiu correndo.
+Imediatamente, o \textbf{Delegado} da festa foi acionado pelo pai da noiva para capturar o fujão e arrastá-lo direto para a barraca da Cadeia.
+
+O local da festa possui uma organização bem tradicional: o arraiá é composto por $n$ barracas numeradas de $1$ a $n$, que são conectadas por exatamente $n-1$ corredores de terra batida decorados com bandeirinhas coloridas.
+A organização foi feita de tal forma que existe sempre um único caminho simples caminhando pelos corredores entre quaisquer duas barracas.
+
+A perseguição começa com o Delegado na barraca $a$, e o Noivo escondido na barraca $b$. Eles correm em turnos alternados, e o \textbf{Delegado dá o primeiro pique de corrida}.
+
+\begin{itemize}
+    \item No seu turno, o \textbf{Delegado} pode correr por até $d_a$ corredores de bandeirinhas para tentar encurralar o fujão.
+    \item Na sua vez, o \textbf{Noivo} pode disparar por até $d_b$ corredores para tentar se afastar da autoridade.
+\end{itemize}
+
+A distância entre duas barracas é o número de corredores no único caminho entre elas.
+No desespero (ou para comer uma paçoca), ambos podem optar por não correr e permanecer na mesma barraca durante o seu turno.
+O movimento é focado apenas no destino: eles cruzam os corredores sem parar nas barracas intermediárias.
+
+O Delegado vence se, em até $10^{100}$ turnos, conseguir chegar na \textbf{mesma barraca} que o Noivo, efetuando a prisão.
+Caso contrário, se o Noivo conseguir sambar pelo arraiá e despistar o Delegado a noite inteira, o Noivo vence, e continua solteiro.
+
+Sua tarefa é determinar quem sairá vencedor dessa confusão junina, assumindo que tanto o Delegado quanto o Noivo corram e se escondam de maneira absolutamente ótima.
+
+
+Para cada caso de teste, imprima uma única linha contendo o vencedor dessa perseguição caipira: \texttt{Delegado} ou \texttt{Noivo}.

pique-pega/statement/input.tex

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+A primeira linha da entrada contém um inteiro $t$ ($1 \le t \le 10^4$), indicando o número de casos de teste.
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+A primeira linha de cada caso de teste contém cinco inteiros: $n, a, b, d_a, d_b$ ($2 \le n \le 10^5$, $1 \le a, b \le n$, $a \neq b$, $1 \le d_a, d_b \le n-1$), representando o número de barracas no arraiá, a barraca inicial do Delegado, a barraca inicial do Noivo, o fôlego máximo de corrida do Delegado e o fôlego máximo de fuga do Noivo, respectivamente.
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+As próximas $n-1$ linhas descrevem os corredores do arraiá.
+Cada linha contém dois inteiros $u$ e $v$ ($1 \le u, v \le n, u \neq v$), indicando um corredor direto de bandeirinhas ligando as barracas $u$ e $v$.
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+É garantido que a soma de $n$ em todos os casos de teste não excede $10^5$.

pique-pega/statement/notes.tex

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+Problema adaptado de \href{https://codeforces.com/contest/1405/problem/D}{Codeforces Round 668 (Div. 2, Problem D)}.

pique-pega/statement/output.tex

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+Para cada caso de teste, imprima uma única linha contendo o vencedor dessa perseguição caipira: \texttt{Delegado} ou \texttt{Noivo}.

pique-pega/statement/tutorial.tex

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+O problema pode ser modelado como um jogo de perseguição em um grafo acíclico conectado, uma árvore. A vitória do Delegado é garantida de forma determinística se, e somente se, pelo menos uma das três propriedades estruturais abaixo for satisfeita. Caso contrário, a topologia da árvore garante ao Noivo uma estratégia de evasão infinita.
+
+\begin{enumerate}
+    \item \textbf{Captura no Primeiro Turno:} Se a distância no grafo entre os vértices iniciais for $dist(a, b) \le d_a$, o Delegado alcança o Noivo imediatamente na sua primeira jogada. Essa distância pode ser calculada em $O(N)$ executando uma Busca em Largura (BFS) ou Busca em Profundidade (DFS) a partir do vértice $a$.
+    
+    \item \textbf{Cobertura do Diâmetro da Árvore:} O Delegado vence se o diâmetro da árvore, o caminho mais longo entre quaisquer dois vertíces, for $D \le 2 \cdot d_a$. 
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{Prova:} Em uma árvore de diâmetro $D$, o raio a partir de seu centro absoluto é $\lceil D/2 \rceil$. Se $D \le 2 \cdot d_a$, o Delegado pode simplesmente mover-se em direção ao vértice central da árvore. A partir desse centro, a distância máxima para qualquer outro vértice do grafo será $\le d_a$. Assim, o Delegado passa a cobrir todos os vértices possíveis em um único turno, não deixando zonas seguras para o Noivo.
+        \item \textbf{Cálculo:} O diâmetro pode ser encontrado linearmente em $O(N)$ usando duas execuções de BFS ou DFS: a primeira partindo de um nó arbitrário para encontrar o nó $u$ mais distante, e a segunda partindo de $u$ para encontrar o nó $v$ mais distante. A distância $dist(u, v)$ será o diâmetro $D$.
+    \end{itemize}
+    
+    \item \textbf{Dominância de Raio de Ação:} O Delegado vence se a sua capacidade de movimento anular o potencial de salto do Noivo, o que ocorre estritamente quando $2 \cdot d_a \ge d_b$.
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{Prova:} Para que o Noivo consiga escapar de um cerco ao ser encurralado em uma extremidade da árvore, ele precisaria ser capaz de "pular por cima" da zona de controle do Delegado sem aterrissar dentro dela. Como o Delegado controla um raio de $d_a$ ao seu redor, o diâmetro da sua zona de ameaça é $2 \cdot d_a$. Para cruzar essa zona com segurança e ainda ganhar distância, o Noivo precisaria de um salto estritamente maior que a zona de perigo, ou seja, $d_b > 2 \cdot d_a$.
+        Se essa condição de salto falha, o Delegado pode gradualmente empurrar o Noivo para uma folha da árvore e capturá-lo, reduzindo a distância entre eles a cada turno.
+    \end{itemize}
+\end{enumerate}
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+Se nenhuma dessas três condições for satisfeita ($dist(a, b) > d_a$, $D > 2 \cdot d_a$ e $d_b > 2 \cdot d_a$), o Noivo sempre terá espaço topológico para manter uma distância de segurança superior a $d_a$ após o seu turno, configurando um jogo infinito.
+A complexidade de tempo total para verificar todas as condições e decidir o vencedor é $O(N)$.