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knapsack-zero-one/knapsack-zero-one-tutorial.tex

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+\documentclass[10pt]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
+\usepackage{fullpage}
+\usepackage{url}
+\pagenumbering{gobble}
+\usepackage{hyperref}
+
+\title{ Tutorial: Knapsack Problem}
+\author{}
+\date{}
+\begin{document}
+\maketitle
+\section{Solução do Problema}
+
+A solução do problema da mochila 0/1 pode ser abordada por meio de \textit{programação dinâmica}. 
+A ideia central é decompor o problema em subproblemas menores, de forma que a solução ótima total seja composta pelas soluções ótimas desses subproblemas.
+
+\subsection{Definição do Subproblema}
+
+Seja $dp[i][w]$ o valor máximo que pode ser obtido ao considerar os $i$ primeiros itens, com capacidade máxima da mochila igual a $w$.
+
+\subsection{Função de Transição}
+
+Para cada item $i$ (com peso $p_i$ e valor $v_i$), temos duas opções:
+
+\begin{itemize}
+    \item Não incluir o item $i$: o valor máximo permanece igual ao do subproblema anterior, isto é, $dp[i-1][w]$.
+    \item Incluir o item $i$: caso o peso $p_i$ caiba na mochila ($p_i \leq w$), o valor máximo será o valor do item $v_i$ somado ao melhor valor possível com a capacidade restante, $dp[i-1][w - p_i]$.
+\end{itemize}
+
+Assim, a função de transição pode ser expressa como:
+
+\[
+dp[i][w] = 
+\begin{cases}
+dp[i-1][w], & \text{se } p_i > w \\
+\max(dp[i-1][w],\; dp[i-1][w - p_i] + v_i), & \text{caso contrário}
+\end{cases}
+\]
+
+\subsection{Casos Base}
+
+As condições iniciais são:
+
+\[
+dp[0][w] = 0, \quad \forall w \geq 0
+\]
+\[
+dp[i][0] = 0, \quad \forall i \geq 0
+\]
+
+Esses casos representam que, com zero itens ou capacidade zero, o valor máximo obtido é zero.
+
+\subsection{Implementação Dinâmica}
+
+O algoritmo preenche uma tabela $dp$ de tamanho $(n+1) \times (W+1)$, onde $n$ é o número de itens e $W$ é a capacidade máxima da mochila. 
+Cada célula é calculada a partir das decisões descritas na função de transição.
+
+\begin{verbatim}
+for i in 1..n:
+    for w in 1..W:
+        if peso[i] <= w:
+            dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w - peso[i]] + valor[i])
+        else:
+            dp[i][w] = dp[i-1][w]
+\end{verbatim}
+
+O resultado final é dado por $dp[n][W]$, que representa o maior valor possível que pode ser obtido sem ultrapassar a capacidade da mochila.
+\end{document}