feat: new tutorial file, TLE solution updated

knapsack-zero-one/knapsack-zero-one-tutorial.tex

@@ -0,0 +1,70 @@
+\documentclass[10pt]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
+\usepackage{fullpage}
+\usepackage{url}
+\pagenumbering{gobble}
+\usepackage{hyperref}
+
+\title{ Tutorial: Knapsack Problem}
+\author{}
+\date{}
+\begin{document}
+\maketitle
+\section{Solução do Problema}
+
+A solução do problema da mochila 0/1 pode ser abordada por meio de \textit{programação dinâmica}. 
+A ideia central é decompor o problema em subproblemas menores, de forma que a solução ótima total seja composta pelas soluções ótimas desses subproblemas.
+
+\subsection{Definição do Subproblema}
+
+Seja $dp[i][w]$ o valor máximo que pode ser obtido ao considerar os $i$ primeiros itens, com capacidade máxima da mochila igual a $w$.
+
+\subsection{Função de Transição}
+
+Para cada item $i$ (com peso $p_i$ e valor $v_i$), temos duas opções:
+
+\begin{itemize}
+    \item Não incluir o item $i$: o valor máximo permanece igual ao do subproblema anterior, isto é, $dp[i-1][w]$.
+    \item Incluir o item $i$: caso o peso $p_i$ caiba na mochila ($p_i \leq w$), o valor máximo será o valor do item $v_i$ somado ao melhor valor possível com a capacidade restante, $dp[i-1][w - p_i]$.
+\end{itemize}
+
+Assim, a função de transição pode ser expressa como:
+
+\[
+dp[i][w] = 
+\begin{cases}
+dp[i-1][w], & \text{se } p_i > w \\
+\max(dp[i-1][w],\; dp[i-1][w - p_i] + v_i), & \text{caso contrário}
+\end{cases}
+\]
+
+\subsection{Casos Base}
+
+As condições iniciais são:
+
+\[
+dp[0][w] = 0, \quad \forall w \geq 0
+\]
+\[
+dp[i][0] = 0, \quad \forall i \geq 0
+\]
+
+Esses casos representam que, com zero itens ou capacidade zero, o valor máximo obtido é zero.
+
+\subsection{Implementação Dinâmica}
+
+O algoritmo preenche uma tabela $dp$ de tamanho $(n+1) \times (W+1)$, onde $n$ é o número de itens e $W$ é a capacidade máxima da mochila. 
+Cada célula é calculada a partir das decisões descritas na função de transição.
+
+\begin{verbatim}
+for i in 1..n:
+    for w in 1..W:
+        if peso[i] <= w:
+            dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w - peso[i]] + valor[i])
+        else:
+            dp[i][w] = dp[i-1][w]
+\end{verbatim}
+
+O resultado final é dado por $dp[n][W]$, que representa o maior valor possível que pode ser obtido sem ultrapassar a capacidade da mochila.
+\end{document}

knapsack-zero-one/problem.json

@@ -11,10 +11,10 @@
         "grader": false,
         "subject": {
             "en_us": [
-                "dynamic-programming"
+                "dynamic-programming", "knapsack-problem", "knapsack-0/1"
             ],
             "pt_br": [
-                "programação-dinâmica"
+                "programação-dinâmica", "problema-da-mochila", "problema-da-mochila-booleano"
             ],
             "es": [
                 ""

knapsack-zero-one/src/TLE.cpp

@@ -1,34 +1,30 @@
 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
-typedef long long ll;
+using ll = long long;
+
+int N;
+ll W;
+vector<ll> weight, value;
+
+ll knapsack(int i, ll w) {
+    if (i == 0 || w == 0) return 0;
+
+    ll res = knapsack(i - 1, w);
+    if (weight[i] <= w)
+        res = max(res, value[i] + knapsack(i - 1, w - weight[i]));
+
+    return res;
+}
+
 
 int main() {
-    int N, W; cin >> N >> W;
+    cin >> N >> W;
-    vector<pair<ll,ll>> items(N+1);
+    weight.resize(N + 1);
-    for (int i = 1; i <= N; i++) {
+    value.resize(N + 1);
-        ll wi, vi; cin >> wi >> vi;
-        items[i] = {wi, vi};
-    }
 
-    ll ans = 0;
+    for (int i = 1; i <= N; i++)
-    for (ll i = 0; i < (1<<N); i++) {
+        cin >> weight[i] >> value[i];
-        ll capacity = W, value = 0;
-        for (int j = 0; j < N; j++) {
-            auto [wj, vj] = items[j + 1];
-            if (((i >> j) & 1)) {
-                if (capacity >= wj) {
-                    capacity -= wj;
-                    value += vj;
-                } else {
-                    value = -1;
-                    break;
-                }
-            }
-        }
-        ans = max(ans, value);
-    }
-
-    cout << ans << endl;
 
+    cout << knapsack(N, W) << "\n";
     return 0;
 }

knapsack-zero-one/statement/tutorial.tex

@@ -0,0 +1,56 @@
+\section{Solução do Problema}
+
+A solução do problema da mochila 0/1 pode ser abordada por meio de \textit{programação dinâmica}. 
+A ideia central é decompor o problema em subproblemas menores, de forma que a solução ótima total seja composta pelas soluções ótimas desses subproblemas.
+
+\subsection{Definição do Subproblema}
+
+Seja $dp[i][w]$ o valor máximo que pode ser obtido ao considerar os $i$ primeiros itens, com capacidade máxima da mochila igual a $w$.
+
+\subsection{Função de Transição}
+
+Para cada item $i$ (com peso $p_i$ e valor $v_i$), temos duas opções:
+
+\begin{itemize}
+    \item Não incluir o item $i$: o valor máximo permanece igual ao do subproblema anterior, isto é, $dp[i-1][w]$.
+    \item Incluir o item $i$: caso o peso $p_i$ caiba na mochila ($p_i \leq w$), o valor máximo será o valor do item $v_i$ somado ao melhor valor possível com a capacidade restante, $dp[i-1][w - p_i]$.
+\end{itemize}
+
+Assim, a função de transição pode ser expressa como:
+
+\[
+dp[i][w] = 
+\begin{cases}
+dp[i-1][w], & \text{se } p_i > w \\
+\max(dp[i-1][w],\; dp[i-1][w - p_i] + v_i), & \text{caso contrário}
+\end{cases}
+\]
+
+\subsection{Casos Base}
+
+As condições iniciais são:
+
+\[
+dp[0][w] = 0, \quad \forall w \geq 0
+\]
+\[
+dp[i][0] = 0, \quad \forall i \geq 0
+\]
+
+Esses casos representam que, com zero itens ou capacidade zero, o valor máximo obtido é zero.
+
+\subsection{Implementação Dinâmica}
+
+O algoritmo preenche uma tabela $dp$ de tamanho $(n+1) \times (W+1)$, onde $n$ é o número de itens e $W$ é a capacidade máxima da mochila. 
+Cada célula é calculada a partir das decisões descritas na função de transição.
+
+\begin{verbatim}
+for i in 1..n:
+    for w in 1..W:
+        if peso[i] <= w:
+            dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w - peso[i]] + valor[i])
+        else:
+            dp[i][w] = dp[i-1][w]
+\end{verbatim}
+
+O resultado final é dado por $dp[n][W]$, que representa o maior valor possível que pode ser obtido sem ultrapassar a capacidade da mochila.