fix: updated LCS problem stament and tutorial

longest-common-subsequence/statement/tutorial.tex

@@ -51,4 +51,49 @@ dp[0][j] = 0 \quad \forall j \ge 0
 dp[i][0] = 0 \quad \forall i \ge 0
 \]
 
-Isto representa que, se uma das strings tiver tamanho zero, nenhuma subsequência comum pode ser formada.
+Isto representa que, se uma das strings tiver tamanho zero, nenhuma subsequência comum pode ser formada.
+
+\subsection{Recuperação da Subsequência Comum}
+
+Após o preenchimento da matriz \( dp \), o valor \( dp[n][m] \) fornece o comprimento da maior subsequência comum entre \( s_1 \) e \( s_2 \).  
+No entanto, para obter também a subsequência em si, é necessário realizar um processo de \textit{backtracking} sobre a matriz.
+
+A ideia consiste em iniciar a partir da posição \( (n, m) \) da matriz e caminhar em direção à origem.  
+Em cada passo:
+
+\begin{itemize}
+    \item Se \( s_1[i] = s_2[j] \), então este caractere faz parte da LCS. Nesse caso, retrocedemos para \( (i-1, j-1) \).
+    \item Caso contrário, avançamos para o vizinho que contém o maior valor entre \( dp[i-1][j] \) e \( dp[i][j-1] \), pois esse vizinho indica o caminho que manteve o comprimento máximo da subsequência.
+\end{itemize}
+
+Como a subsequência é reconstruída de trás para frente, os caracteres encontrados devem ser adicionados no início da string resultante.
+
+O algoritmo para recuperar uma subsequência comum de comprimento máximo é o seguinte:
+
+\begin{verbatim}
+int i = n;      // ponteiro para s1
+int j = m;      // ponteiro para s2
+string lcs = "";  // subsequência comum sendo reconstruída
+
+// Enquanto ainda houver caracteres a considerar
+while (i > 0 && j > 0) {
+
+    // Caso 1: os caracteres são iguais → fazem parte da LCS
+    if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
+        lcs = s1[i - 1] + lcs;  // adiciona no início da string
+        i--;
+        j--;
+    }
+    // Caso 2: se o valor de cima é maior, movemos para cima
+    else if (dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]) {
+        i--;
+    }
+    // Caso 3: caso contrário, movemos para a esquerda
+    else {
+        j--;
+    }
+}
+
+\end{verbatim}
+
+Ao final desse processo, a string \texttt{lcs} conterá uma maior subsequência comum entre as duas strings.