fix: updated LCS problem stament and tutorial

longest-common-subsequence/longest-common-subsequence-tutorial.tex

@@ -64,4 +64,49 @@ dp[0][j] = 0 \quad \forall j \ge 0
 dp[i][0] = 0 \quad \forall i \ge 0
 \]
 
-Isto representa que, se uma das strings tiver tamanho zero, nenhuma subsequência comum pode ser formada.\end{document}
+Isto representa que, se uma das strings tiver tamanho zero, nenhuma subsequência comum pode ser formada.
+
+\subsection{Recuperação da Subsequência Comum}
+
+Após o preenchimento da matriz \( dp \), o valor \( dp[n][m] \) fornece o comprimento da maior subsequência comum entre \( s_1 \) e \( s_2 \).  
+No entanto, para obter também a subsequência em si, é necessário realizar um processo de \textit{backtracking} sobre a matriz.
+
+A ideia consiste em iniciar a partir da posição \( (n, m) \) da matriz e caminhar em direção à origem.  
+Em cada passo:
+
+\begin{itemize}
+    \item Se \( s_1[i] = s_2[j] \), então este caractere faz parte da LCS. Nesse caso, retrocedemos para \( (i-1, j-1) \).
+    \item Caso contrário, avançamos para o vizinho que contém o maior valor entre \( dp[i-1][j] \) e \( dp[i][j-1] \), pois esse vizinho indica o caminho que manteve o comprimento máximo da subsequência.
+\end{itemize}
+
+Como a subsequência é reconstruída de trás para frente, os caracteres encontrados devem ser adicionados no início da string resultante.
+
+O algoritmo para recuperar uma subsequência comum de comprimento máximo é o seguinte:
+
+\begin{verbatim}
+int i = n;      // ponteiro para s1
+int j = m;      // ponteiro para s2
+string lcs = "";  // subsequência comum sendo reconstruída
+
+// Enquanto ainda houver caracteres a considerar
+while (i > 0 && j > 0) {
+
+    // Caso 1: os caracteres são iguais → fazem parte da LCS
+    if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
+        lcs = s1[i - 1] + lcs;  // adiciona no início da string
+        i--;
+        j--;
+    }
+    // Caso 2: se o valor de cima é maior, movemos para cima
+    else if (dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]) {
+        i--;
+    }
+    // Caso 3: caso contrário, movemos para a esquerda
+    else {
+        j--;
+    }
+}
+
+\end{verbatim}
+
+Ao final desse processo, a string \texttt{lcs} conterá uma maior subsequência comum entre as duas strings.\end{document}

longest-common-subsequence/longest-common-subsequence.tex

@@ -3,18 +3,21 @@
 \begin{document}
 \begin{ProblemaAutor}{}{Maior Subsequência Comum}{1}{256}{}
 
-O problema consiste em determinar o comprimento da maior subsequência comum entre duas strings.
-Uma subsequência é uma sequência que pode ser obtida a partir da string original removendo-se zero ou mais caracteres, sem alterar a ordem relativa dos restantes.
-Dadas duas strings \( s_1 \) e \( s_2 \), o objetivo é encontrar o tamanho da maior subsequência que aparece em ambas.
+O objetivo deste problema é determinar o comprimento da \textbf{maior subsequência comum} (Longest Common Subsequence - LCS) entre duas strings fornecidas.
+Uma \textit{subsequência} é uma sequência que pode ser obtida a partir de uma string original removendo-se zero ou mais caracteres, sem alterar a ordem relativa dos caracteres restantes.
+Dadas duas strings \( s_1 \) e \( s_2 \), deseja-se determinar \textbf{o comprimento da maior subsequência comum} e também \textbf{uma subsequência comum de comprimento máximo} presente em ambas.
 
 \Entrada
 
-A entrada é composta por duas linhas. Na primeira linha, há dois inteiros \( n \) e \( m \) (\( 1 \leq n, m \leq 1000 \)), representando respectivamente os tamanhos das strings \( s_1 \) e \( s_2 \).
+A entrada é composta por duas linhas. 
+Na primeira linha, há dois inteiros \( n \) e \( m \) (\( 1 \leq n, m \leq 1000 \)), representando respectivamente os tamanhos das strings \( s_1 \) e \( s_2 \).
 Na segunda linha, há duas strings \( s_1 \) e \( s_2 \), cada uma composta apenas por letras minúsculas do alfabeto, com tamanhos \( n \) e \( m \), respectivamente.
 
 \Saida
 
-Imprima um único inteiro representando o comprimento da maior subsequência comum entre \( s_1 \) e \( s_2 \).
+A saída consiste em duas linhas. 
+Na primeira linha, deve ser impresso o comprimento da maior subsequência comum.
+Na segunda linha, deve ser impressa uma subsequência comum de comprimento máximo.
 
 \ExemploEntrada
 \begin{Exemplo}
@@ -32,8 +35,8 @@ Imprima um único inteiro representando o comprimento da maior subsequência com
 
 Para as strings \( s_1 = abcde \) e \( s_2 = ace \), a maior subsequência comum é "ace", que possui tamanho 3.
 
-Para \( s_1 = abc \) e \( s_2 = abc \), ambas as strings são idênticas, então a maior subsequência comum tem tamanho 3.
+Para \( s_1 = abc \) e \( s_2 = abc \), ambas as strings são idênticas, logo a maior subsequência comum é "abc", que possui tamanho 3.
 
-Para \( s_1 = abc \) e \( s_2 = hhh \), não há caracteres em comum, e portanto a maior subsequência comum tem tamanho 0.
+Para \( s_1 = abc \) e \( s_2 = hhh \), não há caracteres em comum, e portanto a maior subsequência comum é a palavra vazia, que tem tamanho 0.
 \end{ProblemaAutor}
 \end{document}

longest-common-subsequence/statement/description.tex

@@ -1,3 +1,3 @@
-O problema consiste em determinar o comprimento da maior subsequência comum entre duas strings.
-Uma subsequência é uma sequência que pode ser obtida a partir da string original removendo-se zero ou mais caracteres, sem alterar a ordem relativa dos restantes.
-Dadas duas strings \( s_1 \) e \( s_2 \), o objetivo é encontrar o tamanho da maior subsequência que aparece em ambas.
+O objetivo deste problema é determinar o comprimento da \textbf{maior subsequência comum} (Longest Common Subsequence - LCS) entre duas strings fornecidas.
+Uma \textit{subsequência} é uma sequência que pode ser obtida a partir de uma string original removendo-se zero ou mais caracteres, sem alterar a ordem relativa dos caracteres restantes.
+Dadas duas strings \( s_1 \) e \( s_2 \), deseja-se determinar \textbf{o comprimento da maior subsequência comum} e também \textbf{uma subsequência comum de comprimento máximo} presente em ambas.

longest-common-subsequence/statement/input.tex

@@ -1,2 +1,3 @@
-A entrada é composta por duas linhas. Na primeira linha, há dois inteiros \( n \) e \( m \) (\( 1 \leq n, m \leq 1000 \)), representando respectivamente os tamanhos das strings \( s_1 \) e \( s_2 \).
+A entrada é composta por duas linhas. 
+Na primeira linha, há dois inteiros \( n \) e \( m \) (\( 1 \leq n, m \leq 1000 \)), representando respectivamente os tamanhos das strings \( s_1 \) e \( s_2 \).
 Na segunda linha, há duas strings \( s_1 \) e \( s_2 \), cada uma composta apenas por letras minúsculas do alfabeto, com tamanhos \( n \) e \( m \), respectivamente.

longest-common-subsequence/statement/notes.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 Para as strings \( s_1 = abcde \) e \( s_2 = ace \), a maior subsequência comum é "ace", que possui tamanho 3.
 
-Para \( s_1 = abc \) e \( s_2 = abc \), ambas as strings são idênticas, então a maior subsequência comum tem tamanho 3.
+Para \( s_1 = abc \) e \( s_2 = abc \), ambas as strings são idênticas, logo a maior subsequência comum é "abc", que possui tamanho 3.
 
-Para \( s_1 = abc \) e \( s_2 = hhh \), não há caracteres em comum, e portanto a maior subsequência comum tem tamanho 0.
+Para \( s_1 = abc \) e \( s_2 = hhh \), não há caracteres em comum, e portanto a maior subsequência comum é a palavra vazia, que tem tamanho 0.

longest-common-subsequence/statement/output.tex

@@ -1 +1,3 @@
-Imprima um único inteiro representando o comprimento da maior subsequência comum entre \( s_1 \) e \( s_2 \).
+A saída consiste em duas linhas. 
+Na primeira linha, deve ser impresso o comprimento da maior subsequência comum.
+Na segunda linha, deve ser impressa uma subsequência comum de comprimento máximo.

longest-common-subsequence/statement/tutorial.tex

@@ -52,3 +52,48 @@ dp[i][0] = 0 \quad \forall i \ge 0
 \]
 
 Isto representa que, se uma das strings tiver tamanho zero, nenhuma subsequência comum pode ser formada.
+
+\subsection{Recuperação da Subsequência Comum}
+
+Após o preenchimento da matriz \( dp \), o valor \( dp[n][m] \) fornece o comprimento da maior subsequência comum entre \( s_1 \) e \( s_2 \).  
+No entanto, para obter também a subsequência em si, é necessário realizar um processo de \textit{backtracking} sobre a matriz.
+
+A ideia consiste em iniciar a partir da posição \( (n, m) \) da matriz e caminhar em direção à origem.  
+Em cada passo:
+
+\begin{itemize}
+    \item Se \( s_1[i] = s_2[j] \), então este caractere faz parte da LCS. Nesse caso, retrocedemos para \( (i-1, j-1) \).
+    \item Caso contrário, avançamos para o vizinho que contém o maior valor entre \( dp[i-1][j] \) e \( dp[i][j-1] \), pois esse vizinho indica o caminho que manteve o comprimento máximo da subsequência.
+\end{itemize}
+
+Como a subsequência é reconstruída de trás para frente, os caracteres encontrados devem ser adicionados no início da string resultante.
+
+O algoritmo para recuperar uma subsequência comum de comprimento máximo é o seguinte:
+
+\begin{verbatim}
+int i = n;      // ponteiro para s1
+int j = m;      // ponteiro para s2
+string lcs = "";  // subsequência comum sendo reconstruída
+
+// Enquanto ainda houver caracteres a considerar
+while (i > 0 && j > 0) {
+
+    // Caso 1: os caracteres são iguais → fazem parte da LCS
+    if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
+        lcs = s1[i - 1] + lcs;  // adiciona no início da string
+        i--;
+        j--;
+    }
+    // Caso 2: se o valor de cima é maior, movemos para cima
+    else if (dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]) {
+        i--;
+    }
+    // Caso 3: caso contrário, movemos para a esquerda
+    else {
+        j--;
+    }
+}
+
+\end{verbatim}
+
+Ao final desse processo, a string \texttt{lcs} conterá uma maior subsequência comum entre as duas strings.