feat: new graph problems formatted.

quase-menor-caminho/statement/description.tex

@@ -0,0 +1,31 @@
+Encontrar o menor caminho entre dois pontos em um mapa é um problema clássico.
+Mas, em alguns sistemas de navegação, todas as rotas que fazem parte de algum
+menor caminho podem ficar congestionadas. Nesse caso, queremos encontrar uma rota
+alternativa.
+
+O mapa é representado por um grafo direcionado e ponderado. Os vértices são
+pontos do mapa, e cada aresta direcionada representa uma rota de um ponto para
+outro com um certo comprimento.
+
+O quase menor caminho entre a origem $S$ e o destino $D$ é o menor caminho de
+$S$ até $D$ que não usa nenhuma aresta pertencente a qualquer menor caminho de
+$S$ até $D$ no grafo original.
+
+Sua tarefa é determinar o comprimento do quase menor caminho. Caso não exista
+nenhum caminho que satisfaça essa condição, a resposta deve ser $-1$.
+
+Por exemplo, suponha que a figura abaixo representa o mapa dado, com círculos
+representando localizações e linhas representando rotas diretas, de mão única
+com as distâncias indicadas. O ponto de partida está marcado como $S$ e o de
+destino está marcado como $D$. As linhas em negrito pertencem a um caminho
+mínimo (nesse caso existem dois caminhos mínimos, cada um com extensão \(4\)).
+Logo, o quase menor caminho seria o indicado com linhas pontilhadas (extensão
+\(5\)), já que nenhuma rota entre dois pontos consecutivos pertence a nenhum
+caminho mínimo. Note que poderia existir mais de uma resposta possível, por
+exemplo, se a rota com extensão \(3\) tivesse extensão \(1\). Bem como poderia
+inexistir uma resposta certa.
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{image.png}
+\end{figure}

quase-menor-caminho/statement/input.tex

@@ -0,0 +1,19 @@
+A entrada contem varios casos de teste.
+
+A primeira linha de cada caso contem dois inteiros $N$ e $M$
+($2 \leq N \leq 500$, $1 \leq M \leq 10^4$), representando o numero de
+vertices e o numero de arestas direcionadas do grafo. Os vertices sao numerados
+de $0$ a $N-1$.
+
+A segunda linha contem dois inteiros $S$ e $D$
+($0 \leq S, D < N$, $S \neq D$), representando a origem e o destino.
+
+Cada uma das proximas $M$ linhas contem tres inteiros $U$, $V$ e $P$
+($U \neq V$, $0 \leq U, V < N$, $1 \leq P \leq 1000$), indicando uma aresta
+direcionada de $U$ para $V$ com peso $P$.
+
+Existe no maximo uma aresta direcionada de um vertice $U$ para um vertice $V$.
+A existencia de uma aresta de $U$ para $V$ nao implica a existencia de uma aresta
+de $V$ para $U$.
+
+O fim da entrada e indicado por uma linha contendo \texttt{0 0}.

quase-menor-caminho/statement/notes.tex

@@ -0,0 +1,9 @@
+No primeiro caso da amostra, existem menores caminhos de custo $4$. Todas as
+arestas que aparecem em algum desses caminhos sao descartadas. Depois disso, o
+menor caminho restante tem custo $5$.
+
+No segundo caso, todo caminho da origem ate o destino usa alguma aresta que
+pertence a um menor caminho original, entao a resposta e $-1$.
+
+Problema adaptado do SPOJ Brasil:
+\href{https://br.spoj.com/problems/QUASEMEN/}{QUASEMEN - Quase Menor Caminho}.

quase-menor-caminho/statement/output.tex

@@ -0,0 +1,4 @@
+Para cada caso de teste, imprima uma linha contendo um unico inteiro.
+
+Se existir um quase menor caminho, imprima seu comprimento. Caso contrario,
+imprima $-1$.

quase-menor-caminho/statement/tutorial.tex

@@ -0,0 +1,30 @@
+Uma forma direta de resolver o problema e remover todas as arestas que pertencem
+a algum menor caminho original e, depois, calcular novamente o menor caminho.
+
+Primeiro rodamos Dijkstra a partir de $S$ no grafo original, obtendo
+$distS[u]$, a menor distancia de $S$ ate cada vertice $u$. Em seguida rodamos
+Dijkstra no grafo reverso a partir de $D$, obtendo $distD[u]$, a menor
+distancia de $u$ ate $D$ no grafo original.
+
+Se $distS[D]$ for infinito, nao existe caminho de $S$ ate $D$ e a resposta ja e
+$-1$.
+
+Caso contrario, uma aresta direcionada $(u, v)$ de peso $p$ pertence a algum
+menor caminho de $S$ ate $D$ se, e somente se:
+
+\[
+distS[u] + p + distD[v] = distS[D].
+\]
+
+Essa igualdade diz que existe um menor caminho formado por um menor caminho de
+$S$ ate $u$, seguido pela aresta $(u, v)$, seguido por um menor caminho de $v$
+ate $D$. Portanto, marcamos todas as arestas que satisfazem essa condicao como
+removidas.
+
+Por fim, rodamos Dijkstra mais uma vez a partir de $S$, ignorando as arestas
+removidas. A distancia obtida ate $D$ e o quase menor caminho; se ela for
+infinita, imprimimos $-1$.
+
+Cada execucao de Dijkstra custa $O((N+M)\log N)$. Como usamos tres execucoes, a
+complexidade total por caso de teste e $O((N+M)\log N)$ em tempo e $O(N+M)$ em
+memoria.