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\title{ Tutorial: Knapsack Problem}
\author{}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\section{Solução do Problema}

A solução do problema da mochila 0/1 pode ser abordada por meio de \textit{programação dinâmica}. 
A ideia central é decompor o problema em subproblemas menores, de forma que a solução ótima total seja composta pelas soluções ótimas desses subproblemas.

\subsection{Definição do Subproblema}

Seja $dp[i][w]$ o valor máximo que pode ser obtido ao considerar os $i$ primeiros itens, com capacidade máxima da mochila igual a $w$.

\subsection{Função de Transição}

Para cada item $i$ (com peso $p_i$ e valor $v_i$), temos duas opções:

\begin{itemize}
    \item Não incluir o item $i$: o valor máximo permanece igual ao do subproblema anterior, isto é, $dp[i-1][w]$.
    \item Incluir o item $i$: caso o peso $p_i$ caiba na mochila ($p_i \leq w$), o valor máximo será o valor do item $v_i$ somado ao melhor valor possível com a capacidade restante, $dp[i-1][w - p_i]$.
\end{itemize}

Assim, a função de transição pode ser expressa como:

\[
dp[i][w] = 
\begin{cases}
dp[i-1][w], & \text{se } p_i > w \\
\max(dp[i-1][w],\; dp[i-1][w - p_i] + v_i), & \text{caso contrário}
\end{cases}
\]

\subsection{Casos Base}

As condições iniciais são:

\[
dp[0][w] = 0, \quad \forall w \geq 0
\]
\[
dp[i][0] = 0, \quad \forall i \geq 0
\]

Esses casos representam que, com zero itens ou capacidade zero, o valor máximo obtido é zero.

\subsection{Implementação Dinâmica}

O algoritmo preenche uma tabela $dp$ de tamanho $(n+1) \times (W+1)$, onde $n$ é o número de itens e $W$ é a capacidade máxima da mochila. 
Cada célula é calculada a partir das decisões descritas na função de transição.

\begin{verbatim}
for i in 1..n:
    for w in 1..W:
        if peso[i] <= w:
            dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w - peso[i]] + valor[i])
        else:
            dp[i][w] = dp[i-1][w]
\end{verbatim}

O resultado final é dado por $dp[n][W]$, que representa o maior valor possível que pode ser obtido sem ultrapassar a capacidade da mochila.
\end{document}