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\title{ Tutorial: Prateleira Dourada}
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\section{Solução do Problema}

O problema de organizar os livros para preencher exatamente a prateleira é uma aplicação clássica do problema da \textbf{Soma de Subconjuntos} (\textit{Subset Sum}), que é uma variação do problema da Mochila (0/1 \textit{Knapsack}). Podemos resolvê-lo de forma eficiente utilizando \textbf{programação dinâmica}. A ideia é rastrear todos os comprimentos parciais possíveis que conseguimos formar com as combinações de livros avaliados até o momento.

\subsection{Definição do Subproblema}

Seja $T$ o comprimento total da prateleira.
Definimos o nosso estado da programação dinâmica como um vetor booleano:

$$dp[j] = \text{1 se for possível formar o comprimento exato } j \text{ com algum subconjunto dos livros.}$$

O nosso objetivo final é descobrir se, após testar todas as combinações de livros, o estado $dp[T]$ se torna verdadeiro.

\subsection{Função de Transição}

Para atualizar os nossos estados, iteramos e avaliamos um livro de cada vez. Seja $x$ a espessura do livro atual. 
A lógica é simples: se já descobrimos que é possível formar uma pilha de livros com espessura exata $j$ (ou seja, $dp[j] == 1$), então, ao colocar esse novo livro na pilha, também seremos capazes de alcançar a espessura $j + x$.

A transição, pode ser descrita como:

$$dp[j + x] = dp[j + x] \lor dp[j]$$

\textbf{Detalhe crucial de implementação:} Para garantir que o bibliotecário use cada livro \textbf{no máximo uma vez}, precisamos percorrer as capacidades de trás para frente (começando em $T - x$ e diminuindo até $0$). Se iterássemos da esquerda para a direita, um livro poderia ser considerado mais de uma vez, o que não é o correto nesse problema.
\subsection{Casos Base}

O caso base representa a situação em que não selecionamos livro algum. A soma das espessuras de uma prateleira vazia é zero. Portanto, é sempre possível "formar" o comprimento $0$:

$$dp[0] = 1$$

Todos os outros comprimentos no vetor de $1$ a $T$ nascem como $0$ (falsos/impossíveis), pois ainda precisamos descobrir se eles podem ser alcançados utilizando os livros da pilha.\end{document}