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\title{ Tutorial: Caminho de Menor Soma}
\author{}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\section{Solução do Problema}

O problema consiste em encontrar o \textbf{menor custo} necessário para percorrer uma grade (\textit{matriz}) de inteiros positivos.  
A grade possui \( n \) linhas e \( m \) colunas, e cada célula contém um número positivo que representa o custo de passar por ela.

O objetivo é sair da célula \textbf{superior esquerda} da grade e chegar à célula \textbf{inferior direita}, movendo-se apenas para a \textbf{direita} ou para \textbf{baixo}.  
A soma dos valores das células visitadas deve ser a menor possível.

Este problema pode ser resolvido de forma eficiente utilizando \textbf{programação dinâmica}.

\subsection{Definição do Subproblema}

Seja uma matriz de custos \( C \) de tamanho \( n \times m \). Definimos:

\[
dp[i][j] = \text{o menor custo para chegar à célula } (i,j) \text{ a partir de } (0,0).
\]

Ou seja, \( dp[i][j] \) representa o custo mínimo para alcançar exatamente a posição \( (i, j) \).

\subsection{Função de Transição}

Como só é possível mover-se para a \textbf{direita} ou para \textbf{baixo}, a célula \( (i,j) \) só pode ser alcançada a partir de:

\begin{itemize}
    \item \( (i-1, j) \): movimento vindo de \textbf{cima};
    \item \( (i, j-1) \): movimento vindo da \textbf{esquerda}.
\end{itemize}

Assim, o custo mínimo para chegar a \( (i,j) \) é dado por:

\[
dp[i][j] = C[i][j] + \min(dp[i-1][j],\ dp[i][j-1]).
\]

\subsection{Casos Base}

\begin{itemize}
    \item Primeira célula:
    \[
    dp[0][0] = C[0][0]
    \]
    \item Primeira linha (somente movimentos para a direita):
    \[
    dp[0][j] = dp[0][j-1] + C[0][j]
    \]
    \item Primeira coluna (somente movimentos para baixo):
    \[
    dp[i][0] = dp[i-1][0] + C[i][0]
    \]
\end{itemize}

\subsection{Construção da Tabela}

Após inicializar os casos base, preenchermos o restante da matriz \( dp \) utilizando:

\[
dp[i][j] = C[i][j] + \min(dp[i-1][j],\ dp[i][j-1]).
\]

Ao término do processo, o valor da última posição:

\[
dp[n-1][m-1]
\]

representa o \textbf{menor custo possível} para ir da célula inicial até a célula final.\end{document}
