\section{Solução do Problema}

O problema de encontrar a maior subsequência crescente (\textit{Longest Increasing Subsequence} - LIS) possui uma solução clássica em $O(N^2)$, mas quando $N$ é grande, podemos otimizá-la para \textbf{$O(N \log N)$} combinando \textbf{programação dinâmica com busca binária}. A grande sacada dessa otimização é mudar a perspectiva: em vez de guardar o tamanho da maior subsequência que termina em um índice, guardamos o \textbf{menor valor final} possível para uma subsequência de um determinado comprimento.

\subsection{Definição do Subproblema}

Seja $a$ o nosso vetor de números inteiros de tamanho $N$.
Definimos o nosso estado da programação dinâmica como:

$$d[l] = \text{o menor valor que encerra uma subsequência crescente de comprimento exato } l.$$

O vetor $d$ terá uma propriedade muito importante: ele estará sempre rigorosamente ordenado de forma crescente. A resposta final será o maior $l$ tal que $d[l] \neq \infty$.

\subsection{Função de Transição}

Para calcular $d[l]$, iteramos sobre cada elemento $a[i]$ da nossa sequência original. Como queremos que os elementos finais de cada comprimento sejam os menores possíveis, tentamos usar $a[i]$ para melhorar o nosso vetor $d$.

Como $d$ está ordenado, podemos usar \textbf{busca binária} (\texttt{upper\_bound} ou \texttt{lower\_bound}) para encontrar rapidamente a posição $l$ onde $a[i]$ deve ser inserido. Se $a[i]$ for maior que o final de uma subsequência de tamanho $l-1$ ($d[l-1] < a[i]$) e, ao mesmo tempo, puder substituir um final pior de tamanho $l$ ($a[i] < d[l]$), nós o atualizamos:

$$d[l] = a[i]$$

Isso significa que encontramos uma subsequência crescente de comprimento $l$ que termina em $a[i]$, e esse final é melhor (menor) do que o que tínhamos registrado anteriormente.

\subsection{Casos Base}

Para que a lógica de busca e as comparações iniciais funcionem sem estourar os limites, inicializamos o vetor $d$ de tamanho $N+1$ da seguinte forma:

$$d[0] = -\infty$$
$$d[l] = \infty \quad \text{para todo } 1 \le l \le N$$

Isso representa que uma subsequência de tamanho $0$ termina em um valor infinitamente pequeno, enquanto os outros comprimentos ainda não foram alcançados.

\subsection{Recuperação da Decomposição (Elementos da subsequência)}

Para recuperar os elementos exatos da LIS nesta abordagem otimizada, o vetor $d$ sozinho não basta (pois ele pode conter uma mistura de elementos de diferentes subsequências válidas ao longo do tempo). Precisamos de duas estruturas de rastreamento:
\begin{itemize}
    \item $pos[l]$: armazena o \textbf{índice original} do elemento que atualmente ocupa $d[l]$.
    \item $p[i]$: armazena o predecessor do elemento de índice $i$, assim como na versão $O(N^2)$.
\end{itemize}

Durante a transição, sempre que atualizamos $d[l] = a[i]$, nós também registramos que esse elemento se encontra no índice $i$ original fazendo $pos[l] = i$. 
Ao mesmo tempo, sabemos que o elemento imediatamente anterior a ele na subsequência é o elemento que termina o comprimento $l-1$. Logo, conectamos o predecessor: $p[i] = pos[l-1]$.

Ao final de todas as iterações, sabemos que \texttt{ans} é o comprimento máximo alcançado. O índice do último elemento dessa subsequência estará em $cur = pos[\texttt{ans}]$. A partir desse $cur$, reconstruímos a sequência retrocedendo $cur = p[cur]$ até atingir $-1$, e por fim invertemos a lista para exibi-la na ordem correta.