\section{Solução do Problema}

O problema de encontrar o menor número de operações para transformar uma string em outra, classicamente conhecido como Distância de Edição (\textit{Edit Distance}), pode ser resolvido de forma eficiente por meio de \textbf{programação dinâmica}.

\subsection{Definição do Subproblema}

Sejam $w_1$ e $w_2$ as duas strings de tamanhos $N$ e $M$, respectivamente.
Definimos o nosso estado da programação dinâmica como:

$$dp[i][j] = \text{número mínimo de operações para transformar o sufixo } w_1[i \dots N-1] \text{ no sufixo } w_2[j \dots M-1].$$

Assim, $dp[0][0]$ representará a resposta final para as duas strings inteiras.

\subsection{Função de Transição}

Para determinar $dp[i][j]$, olhamos para os caracteres atuais $w_1[i]$ e $w_2[j]$ e tomamos uma decisão. 

Se os caracteres forem iguais ($w_1[i] == w_2[j]$), não precisamos realizar nenhuma operação. Apenas avançamos na análise de ambas as strings:

$$dp[i][j] = dp[i+1][j+1]$$

Se os caracteres forem diferentes ($w_1[i] \neq w_2[j]$), temos três opções de edição. Avaliamos o resultado de aplicar cada uma delas e escolhemos a que produz o menor custo final. Cada operação tem um custo de $1$:

$$dp[i][j] = 1 + \min \begin{cases} 
      dp[i+1][j] & \text{(Remoção do caractere } w_1[i]\text{)} \\
      dp[i+1][j+1] & \text{(Substituição de } w_1[i] \text{ por } w_2[j]\text{)} \\
      dp[i][j+1] & \text{(Inserção do caractere } w_2[j] \text{ em } w_1\text{)} 
   \end{cases}$$

\subsection{Casos Base}

Os casos base ocorrem quando esgotamos os caracteres de uma das strings (ou seja, quando $i$ ou $j$ ultrapassam os limites):

Se consumirmos toda a string $w_1$ ($i \ge N$), mas ainda restarem caracteres em $w_2$, a única forma de igualá-las é \textbf{inserir} todos os $M - j$ caracteres restantes:
$$dp[N][j] = M - j$$

Da mesma forma, se consumirmos toda a string $w_2$ ($j \ge M$), mas ainda restarem caracteres em $w_1$, a única forma de igualá-las é \textbf{remover} todos os $N - i$ caracteres que sobraram:
$$dp[i][M] = N - i$$