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\title{ Tutorial: Maior subsequência Crescente}
\author{Arthur Andrade D'Olival}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\section{Solução do Problema}

O problema de encontrar a maior subsequência crescente (\textit{Longest Increasing Subsequence} - LIS) é um clássico que pode ser resolvido de forma eficiente por meio de \textbf{programação dinâmica}. A ideia central é focar no final da subsequência: para cada elemento da sequência original, calculamos qual é a maior subsequência crescente que termina exatamente nele.

\subsection{Definição do Subproblema}

Seja $a$ o nosso vetor de números inteiros com $N$ elementos, indexado de $0$ a $N-1$. 
Definimos o nosso estado da programação dinâmica como:

$$d[i] = \text{o comprimento da maior subsequência crescente que termina obrigatoriamente no índice } i.$$

A resposta final para o tamanho da maior subsequência não será necessariamente $d[N-1]$, mas sim o maior valor alcançado em todo o vetor $d$, ou seja, $\max(d[i])$ para $0 \le i < N$.

\subsection{Função de Transição}

Para determinar o valor de $d[i]$, precisamos olhar para todos os elementos anteriores à posição $i$, ou seja, um índice $j$ tal que $0 \le j < i$. 

Se encontrarmos um elemento anterior que seja estritamente menor que o elemento atual ($a[j] < a[i]$), isso significa que podemos estender a subsequência que terminava em $j$ anexando o elemento $a[i]$ ao final dela. O novo comprimento seria $d[j] + 1$. 
Avaliamos todos os possíveis índices $j$ válidos e mantemos o que gera o maior comprimento:

$$d[i] = \max_{\substack{0 \le j < i \\ a[j] < a[i]}} \big( d[j] + 1 \big)$$

\subsection{Casos Base}

O caso base é bastante intuitivo: na pior das hipóteses, qualquer elemento isolado forma, por si só, uma subsequência válida de comprimento $1$. Portanto, a nossa inicialização padrão para todos os estados é:

$$d[i] = 1 \quad \text{para todo } 0 \le i < N$$

\subsection{Recuperação da Decomposição (Elementos da subsequência)}

Como o problema exige a impressão dos elementos que formam a subsequência, precisamos reconstruir o caminho ótimo. Para isso, utilizamos um vetor auxiliar $p[i]$ (de \textit{parent} ou predecessor), inicializado com $-1$.

Durante a transição, sempre que atualizamos $d[i]$ com um valor maior proveniente de um $d[j] + 1$, registramos o índice de origem definindo $p[i] = j$. 

Após calcularmos todo o vetor $d$, localizamos o índice \texttt{pos} que contém o valor máximo absoluto de $d$. A partir de \texttt{pos}, recuperamos os elementos da subsequência percorrendo o caminho reverso: adicionamos $a[\texttt{pos}]$ à nossa lista de resposta e saltamos para o predecessor atualizando $\texttt{pos} = p[\texttt{pos}]$. Repetimos o processo até que $\texttt{pos}$ seja $-1$. Como resgatamos os elementos do final para o começo, basta inverter a lista resultante para apresentar a subsequência na ordem crescente original.\end{document}
