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\title{ Tutorial: Férias}
\author{Arthur Andrade D'Olival}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\section{Solução do Problema}

O problema de planejar as férias de Miguel para minimizar os dias de descanso, respeitando a regra de não repetir a mesma atividade física ou mental em dias consecutivos, pode ser resolvido de forma muito eficiente usando \textbf{programação dinâmica}. A intuição é que a decisão do que fazer no dia atual depende exclusivamente da disponibilidade de atividades no dia e do que Miguel escolheu fazer no dia imediatamente anterior.

\subsection{Definição do Subproblema}

Como a restrição olha apenas para a atividade do dia anterior, precisamos carregar essa informação no nosso estado. Definimos o nosso estado da programação dinâmica como:

dp[i][j] = \text{o número mínimo de dias de descanso acumulados até o dia } i, \text{ dado que a atividade escolhida no dia } i \text{ foi } j.

Mapeamos os possíveis valores de $j$ (as escolhas de Miguel) da seguinte forma:
\begin{itemize}
    \item $j = 0$: Descansar
    \item $j = 1$: Participar de uma competição
    \item $j = 2$: Ir à academia
\end{itemize}

A resposta final para o problema será o menor valor entre todas as atividades possíveis no último dia de férias: $\min(dp[n][0], dp[n][1], dp[n][2])$.

\subsection{Função de Transição}

Para calcular as opções do dia $i$, olhamos para os melhores resultados alcançados no dia $i-1$ e verificamos o que o calendário ($A[i]$) nos permite fazer hoje.

\textbf{1. Descansar ($j = 0$):} 
Miguel sempre pode descansar em qualquer dia, independentemente do que ele fez ontem. Como descansar adiciona $1$ ao nosso contador de dias de descanso, a transição é:
$$dp[i][0] = \min \big( dp[i-1][0], dp[i-1][1], dp[i-1][2] \big) + 1$$

\textbf{2. Competir ($j = 1$):}
Miguel só pode competir se houver competição hoje ($A[i] == 1$ ou $A[i] == 3$). Além disso, ele não pode ter competido ontem. Logo, os estados válidos anteriores são apenas descanso ($0$) ou academia ($2$):
$$dp[i][1] = \min \big( dp[i-1][0], dp[i-1][2] \big)$$
\textit{Se não houver competição hoje, definimos o estado como inalcançável ($dp[i][1] = \infty$).}

\textbf{3. Ir à academia ($j = 2$):}
De forma análoga, Miguel só pode treinar se a academia estiver aberta ($A[i] == 2$ ou $A[i] == 3$) e se ele não tiver ido à academia ontem. Os estados válidos anteriores são descanso ($0$) ou competição ($1$):
$$dp[i][2] = \min \big( dp[i-1][0], dp[i-1][1] \big)$$
\textit{Se a academia estiver fechada hoje, definimos o estado como inalcançável ($dp[i][2] = \infty$).}

\subsection{Casos Base}

Para que as transições do primeiro dia de férias ($i = 1$) funcionem corretamente, inicializamos o dia $0$ (o momento anterior ao início das férias). 

Como antes das férias começarem não há nenhum dia de descanso acumulado, independentemente da atividade "fictícia" que possamos imaginar, zeramos os estados iniciais:

$$dp[0][0] = 0$$
$$dp[0][1] = 0$$
$$dp[0][2] = 0$$\end{document}