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\title{ Tutorial: Deletar e Ganhar}
\author{Leetcode 740}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
O problema pode ser resolvido utilizando uma abordagem clássica de \textbf{programação dinâmica}.  
A ideia central é que, ao escolher um número \( x \), ganhamos uma certa quantidade de pontos, mas perdemos a possibilidade de escolher os números \( x - 1 \) e \( x + 1 \), já que eles devem ser removidos da sequência.

\subsection*{Modelagem}

Primeiro, agrupamos os números iguais da sequência e calculamos o total de pontos que seria obtido caso escolhêssemos todos os elementos de valor \( i \):
\[
\text{points}[i] = (\text{quantidade de vezes que } i \text{ aparece}) \times i
\]
Assim, o problema passa a ser equivalente a escolher quais valores \( i \) maximizarão a soma total de pontos, respeitando a restrição de que, ao escolher \( i \), não podemos escolher \( i-1 \) nem \( i+1 \).

\subsection*{Definição da DP}

Definimos:
\[
dp[i] = \text{pontuação máxima possível utilizando apenas os números de } 1 \text{ até } i
\]

\subsection*{Função de Transição}

A cada passo, temos duas escolhas:
\begin{itemize}
    \item \textbf{Não escolher} o número \( i \): nesse caso, o resultado é o mesmo que \( dp[i - 1] \);
    \item \textbf{Escolher} o número \( i \): ganhamos \( \text{points}[i] \), mas não podemos utilizar \( i - 1 \), então somamos com \( dp[i - 2] \).
\end{itemize}

A função de transição é, portanto:
\[
dp[i] = \max(dp[i - 1], \, dp[i - 2] + \text{points}[i])
\]

\subsection*{Casos Base}

\[
dp[0] = 0, \quad dp[1] = \text{points}[1]
\]

\subsection*{Resposta Final}

A pontuação máxima possível é:
\[
dp[m]
\]
onde \( m \) é o maior valor presente na sequência original.

\subsection*{Complexidade}

\begin{itemize}
    \item \textbf{Tempo:} \( O(m) \), onde \( m \) é o valor máximo na sequência;
    \item \textbf{Espaço:} \( O(m) \), podendo ser otimizado para \( O(1) \) se armazenarmos apenas os dois últimos estados da DP.
\end{itemize}\end{document}
