\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{url}
\pagenumbering{gobble}
\usepackage{hyperref}

\title{ Tutorial: Decodificando Mensagens}
\author{Leetcode 91}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
O problema pode ser resolvido utilizando uma abordagem de \textbf{programação dinâmica}, na qual calculamos, passo a passo, o número de formas possíveis de decodificar a sequência até cada posição.

\subsection*{Modelagem}

Cada dígito (ou par de dígitos consecutivos) da sequência pode representar uma letra do alfabeto latino, seguindo a regra:
\[
1 \rightarrow A, \quad 2 \rightarrow B, \quad \ldots, \quad 26 \rightarrow Z
\]
Portanto, precisamos contar todas as maneiras válidas de interpretar a sequência numérica, considerando que apenas combinações entre $1$ e $26$ são válidas.

\subsection*{Definição da DP}

Definimos uma estrutura de DP com dois estados para cada posição $i$:
\begin{itemize}
    \item $dp[i][0]$: número de mensagens possíveis terminando no caractere $i$ \textbf{quando o dígito atual não é concatenado} com o anterior;
    \item $dp[i][1]$: número de mensagens possíveis terminando no caractere $i$ \textbf{quando o dígito atual é concatenado} com o anterior.
\end{itemize}

\subsection*{Função de Transição}

A função de transição é definida da seguinte forma:
\[
dp[i][0] =
\begin{cases}
dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1], & \text{se } 1 \leq s[i] \leq 9 \\[6pt]
0, & \text{caso contrário}
\end{cases}
\]

\[
dp[i][1] =
\begin{cases}
dp[i - 2][0] + dp[i - 2][1], & \text{se } 10 \leq 10 \cdot s[i-1] + s[i] \leq 26 \\[6pt]
0, & \text{caso contrário}
\end{cases}
\]

\subsection*{Casos Base}

Os casos base são:
\[
dp[0][0] = 1, \quad dp[0][1] = 0, \quad dp[1][0] = 1, \quad dp[1][1] = 0
\]
Isso ocorre porque, antes de processar qualquer caractere, há exatamente uma maneira “vazia” de formar uma mensagem válida, e o primeiro dígito pode, no máximo, representar uma única letra isolada.

\subsection*{Resposta Final}

O total de formas possíveis de decodificar a sequência é dado por:
\[
dp[n][0] + dp[n][1]
\]
onde $n$ é o comprimento da sequência de entrada.

\subsection*{Complexidade}

\begin{itemize}
    \item \textbf{Tempo:} $O(n)$, pois cada caractere é processado uma única vez;
    \item \textbf{Espaço:} $O(n)$, podendo ser otimizado para $O(1)$ ao armazenar apenas os últimos dois estados.
\end{itemize}\end{document}
