\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{url}
\pagenumbering{gobble}
\usepackage{hyperref}

\title{ Tutorial: Metro}
\author{OBI 2015}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
O grafo do sistema tem uma propriedade importante: a estação central é a única
estação com grau pelo menos $5$, pois dela saem todas as linhas radiais. As
outras estações pertencem a caminhos radiais ou à linha circular. Mesmo uma
estação onde uma radial encontra o círculo tem grau no máximo $4$.

Primeiro encontramos essa estação central analisando os graus dos vértices.
Depois removemos a central do grafo. O que resta é a linha circular com alguns
caminhos pendurados nela, correspondentes aos trechos radiais antes ou depois do
círculo.

Para isolar somente a linha circular, fazemos uma poda de folhas:
\begin{enumerate}
    \item calcule o grau de cada vértice desconsiderando a estação central;
    \item coloque em uma fila todos os vértices de grau $0$ ou $1$;
    \item enquanto a fila não estiver vazia, remova o vértice da frente e reduza
    o grau de seus vizinhos ainda não removidos;
    \item quando algum vizinho passar a ter grau $1$, coloque-o na fila.
\end{enumerate}

Esse processo remove todos os caminhos que estão pendurados no ciclo. Os
vértices que não foram removidos ao final são exatamente as estações da linha
circular, então basta contá-los.

\textbf{Complexidade de tempo:} $O(N + M)$.

\textbf{Complexidade de espaço:} $O(N + M)$.
\end{document}