61 lines
3.2 KiB
TeX
61 lines
3.2 KiB
TeX
\documentclass[10pt]{article}
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
|
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
|
|
\usepackage{fullpage}
|
|
\usepackage{url}
|
|
\pagenumbering{gobble}
|
|
\usepackage{hyperref}
|
|
\usepackage{graphicx}
|
|
\input{statement/preamble.tex}
|
|
\title{ Tutorial: Férias}
|
|
\author{Arthur Andrade D'Olival}
|
|
\date{}
|
|
\begin{document}
|
|
\maketitle
|
|
\section{Solução do Problema}
|
|
|
|
O problema de planejar as férias de Miguel para minimizar os dias de descanso, respeitando a regra de não repetir a mesma atividade física ou mental em dias consecutivos, pode ser resolvido de forma muito eficiente usando \textbf{programação dinâmica}. A intuição é que a decisão do que fazer no dia atual depende exclusivamente da disponibilidade de atividades no dia e do que Miguel escolheu fazer no dia imediatamente anterior.
|
|
|
|
\subsection{Definição do Subproblema}
|
|
|
|
Como a restrição olha apenas para a atividade do dia anterior, precisamos carregar essa informação no nosso estado. Definimos o nosso estado da programação dinâmica como:
|
|
|
|
dp[i][j] = \text{o número mínimo de dias de descanso acumulados até o dia } i, \text{ dado que a atividade escolhida no dia } i \text{ foi } j.
|
|
|
|
Mapeamos os possíveis valores de $j$ (as escolhas de Miguel) da seguinte forma:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $j = 0$: Descansar
|
|
\item $j = 1$: Participar de uma competição
|
|
\item $j = 2$: Ir à academia
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
A resposta final para o problema será o menor valor entre todas as atividades possíveis no último dia de férias: $\min(dp[n][0], dp[n][1], dp[n][2])$.
|
|
|
|
\subsection{Função de Transição}
|
|
|
|
Para calcular as opções do dia $i$, olhamos para os melhores resultados alcançados no dia $i-1$ e verificamos o que o calendário ($A[i]$) nos permite fazer hoje.
|
|
|
|
\textbf{1. Descansar ($j = 0$):}
|
|
Miguel sempre pode descansar em qualquer dia, independentemente do que ele fez ontem. Como descansar adiciona $1$ ao nosso contador de dias de descanso, a transição é:
|
|
$$dp[i][0] = \min \big( dp[i-1][0], dp[i-1][1], dp[i-1][2] \big) + 1$$
|
|
|
|
\textbf{2. Competir ($j = 1$):}
|
|
Miguel só pode competir se houver competição hoje ($A[i] == 1$ ou $A[i] == 3$). Além disso, ele não pode ter competido ontem. Logo, os estados válidos anteriores são apenas descanso ($0$) ou academia ($2$):
|
|
$$dp[i][1] = \min \big( dp[i-1][0], dp[i-1][2] \big)$$
|
|
\textit{Se não houver competição hoje, definimos o estado como inalcançável ($dp[i][1] = \infty$).}
|
|
|
|
\textbf{3. Ir à academia ($j = 2$):}
|
|
De forma análoga, Miguel só pode treinar se a academia estiver aberta ($A[i] == 2$ ou $A[i] == 3$) e se ele não tiver ido à academia ontem. Os estados válidos anteriores são descanso ($0$) ou competição ($1$):
|
|
$$dp[i][2] = \min \big( dp[i-1][0], dp[i-1][1] \big)$$
|
|
\textit{Se a academia estiver fechada hoje, definimos o estado como inalcançável ($dp[i][2] = \infty$).}
|
|
|
|
\subsection{Casos Base}
|
|
|
|
Para que as transições do primeiro dia de férias ($i = 1$) funcionem corretamente, inicializamos o dia $0$ (o momento anterior ao início das férias).
|
|
|
|
Como antes das férias começarem não há nenhum dia de descanso acumulado, independentemente da atividade "fictícia" que possamos imaginar, zeramos os estados iniciais:
|
|
|
|
$$dp[0][0] = 0$$
|
|
$$dp[0][1] = 0$$
|
|
$$dp[0][2] = 0$$\end{document}
|