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\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\title{ Tutorial: Distância de Edição}
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\author{}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Solução do Problema}
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O problema de encontrar o menor número de operações para transformar uma string em outra, classicamente conhecido como Distância de Edição (\textit{Edit Distance}), pode ser resolvido de forma eficiente por meio de \textbf{programação dinâmica}.
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\subsection{Definição do Subproblema}
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Sejam $w_1$ e $w_2$ as duas strings de tamanhos $N$ e $M$, respectivamente.
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Definimos o nosso estado da programação dinâmica como:
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$$dp[i][j] = \text{número mínimo de operações para transformar o sufixo } w_1[i \dots N-1] \text{ no sufixo } w_2[j \dots M-1].$$
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Assim, $dp[0][0]$ representará a resposta final para as duas strings inteiras.
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\subsection{Função de Transição}
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Para determinar $dp[i][j]$, olhamos para os caracteres atuais $w_1[i]$ e $w_2[j]$ e tomamos uma decisão.
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Se os caracteres forem iguais ($w_1[i] == w_2[j]$), não precisamos realizar nenhuma operação. Apenas avançamos na análise de ambas as strings:
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$$dp[i][j] = dp[i+1][j+1]$$
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Se os caracteres forem diferentes ($w_1[i] \neq w_2[j]$), temos três opções de edição. Avaliamos o resultado de aplicar cada uma delas e escolhemos a que produz o menor custo final. Cada operação tem um custo de $1$:
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$$dp[i][j] = 1 + \min \begin{cases}
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dp[i+1][j] & \text{(Remoção do caractere } w_1[i]\text{)} \\
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dp[i+1][j+1] & \text{(Substituição de } w_1[i] \text{ por } w_2[j]\text{)} \\
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dp[i][j+1] & \text{(Inserção do caractere } w_2[j] \text{ em } w_1\text{)}
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\end{cases}$$
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\subsection{Casos Base}
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Os casos base ocorrem quando esgotamos os caracteres de uma das strings (ou seja, quando $i$ ou $j$ ultrapassam os limites):
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Se consumirmos toda a string $w_1$ ($i \ge N$), mas ainda restarem caracteres em $w_2$, a única forma de igualá-las é \textbf{inserir} todos os $M - j$ caracteres restantes:
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$$dp[N][j] = M - j$$
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Da mesma forma, se consumirmos toda a string $w_2$ ($j \ge M$), mas ainda restarem caracteres em $w_1$, a única forma de igualá-las é \textbf{remover} todos os $N - i$ caracteres que sobraram:
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$$dp[i][M] = N - i$$\end{document}
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