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\section{Solução do Problema}
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O problema de planejar as férias de Miguel para minimizar os dias de descanso, respeitando a regra de não repetir a mesma atividade física ou mental em dias consecutivos, pode ser resolvido de forma muito eficiente usando \textbf{programação dinâmica}. A intuição é que a decisão do que fazer no dia atual depende exclusivamente da disponibilidade de atividades no dia e do que Miguel escolheu fazer no dia imediatamente anterior.
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\subsection{Definição do Subproblema}
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Como a restrição olha apenas para a atividade do dia anterior, precisamos carregar essa informação no nosso estado. Definimos o nosso estado da programação dinâmica como:
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dp[i][j] = \text{o número mínimo de dias de descanso acumulados até o dia } i, \text{ dado que a atividade escolhida no dia } i \text{ foi } j.
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Mapeamos os possíveis valores de $j$ (as escolhas de Miguel) da seguinte forma:
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\begin{itemize}
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\item $j = 0$: Descansar
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\item $j = 1$: Participar de uma competição
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\item $j = 2$: Ir à academia
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\end{itemize}
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A resposta final para o problema será o menor valor entre todas as atividades possíveis no último dia de férias: $\min(dp[n][0], dp[n][1], dp[n][2])$.
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\subsection{Função de Transição}
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Para calcular as opções do dia $i$, olhamos para os melhores resultados alcançados no dia $i-1$ e verificamos o que o calendário ($A[i]$) nos permite fazer hoje.
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\textbf{1. Descansar ($j = 0$):}
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Miguel sempre pode descansar em qualquer dia, independentemente do que ele fez ontem. Como descansar adiciona $1$ ao nosso contador de dias de descanso, a transição é:
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$$dp[i][0] = \min \big( dp[i-1][0], dp[i-1][1], dp[i-1][2] \big) + 1$$
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\textbf{2. Competir ($j = 1$):}
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Miguel só pode competir se houver competição hoje ($A[i] == 1$ ou $A[i] == 3$). Além disso, ele não pode ter competido ontem. Logo, os estados válidos anteriores são apenas descanso ($0$) ou academia ($2$):
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$$dp[i][1] = \min \big( dp[i-1][0], dp[i-1][2] \big)$$
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\textit{Se não houver competição hoje, definimos o estado como inalcançável ($dp[i][1] = \infty$).}
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\textbf{3. Ir à academia ($j = 2$):}
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De forma análoga, Miguel só pode treinar se a academia estiver aberta ($A[i] == 2$ ou $A[i] == 3$) e se ele não tiver ido à academia ontem. Os estados válidos anteriores são descanso ($0$) ou competição ($1$):
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$$dp[i][2] = \min \big( dp[i-1][0], dp[i-1][1] \big)$$
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\textit{Se a academia estiver fechada hoje, definimos o estado como inalcançável ($dp[i][2] = \infty$).}
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\subsection{Casos Base}
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Para que as transições do primeiro dia de férias ($i = 1$) funcionem corretamente, inicializamos o dia $0$ (o momento anterior ao início das férias).
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Como antes das férias começarem não há nenhum dia de descanso acumulado, independentemente da atividade "fictícia" que possamos imaginar, zeramos os estados iniciais:
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$$dp[0][0] = 0$$
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$$dp[0][1] = 0$$
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$$dp[0][2] = 0$$ |