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\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
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\pagenumbering{gobble}
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\usepackage{hyperref}
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\title{ Tutorial: Knapsack Problem}
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\author{}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Solução do Problema}
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A solução do problema da mochila 0/1 pode ser abordada por meio de \textit{programação dinâmica}.
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A ideia central é decompor o problema em subproblemas menores, de forma que a solução ótima total seja composta pelas soluções ótimas desses subproblemas.
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\subsection{Definição do Subproblema}
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Seja $dp[i][w]$ o valor máximo que pode ser obtido ao considerar os $i$ primeiros itens, com capacidade máxima da mochila igual a $w$.
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\subsection{Função de Transição}
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Para cada item $i$ (com peso $p_i$ e valor $v_i$), temos duas opções:
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\begin{itemize}
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\item Não incluir o item $i$: o valor máximo permanece igual ao do subproblema anterior, isto é, $dp[i-1][w]$.
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\item Incluir o item $i$: caso o peso $p_i$ caiba na mochila ($p_i \leq w$), o valor máximo será o valor do item $v_i$ somado ao melhor valor possível com a capacidade restante, $dp[i-1][w - p_i]$.
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\end{itemize}
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Assim, a função de transição pode ser expressa como:
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\[
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dp[i][w] =
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\begin{cases}
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dp[i-1][w], & \text{se } p_i > w \\
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\max(dp[i-1][w],\; dp[i-1][w - p_i] + v_i), & \text{caso contrário}
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\end{cases}
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\]
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\subsection{Casos Base}
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As condições iniciais são:
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\[
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dp[0][w] = 0, \quad \forall w \geq 0
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\]
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\[
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dp[i][0] = 0, \quad \forall i \geq 0
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\]
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Esses casos representam que, com zero itens ou capacidade zero, o valor máximo obtido é zero.
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\subsection{Implementação Dinâmica}
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O algoritmo preenche uma tabela $dp$ de tamanho $(n+1) \times (W+1)$, onde $n$ é o número de itens e $W$ é a capacidade máxima da mochila.
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Cada célula é calculada a partir das decisões descritas na função de transição.
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\begin{verbatim}
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for i in 1..n:
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for w in 1..W:
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if peso[i] <= w:
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dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w - peso[i]] + valor[i])
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else:
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dp[i][w] = dp[i-1][w]
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\end{verbatim}
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O resultado final é dado por $dp[n][W]$, que representa o maior valor possível que pode ser obtido sem ultrapassar a capacidade da mochila.
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\end{document}
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