47 lines
2.1 KiB
TeX
47 lines
2.1 KiB
TeX
\documentclass[10pt]{article}
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
|
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
|
|
\usepackage{fullpage}
|
|
\usepackage{url}
|
|
\pagenumbering{gobble}
|
|
\usepackage{hyperref}
|
|
\usepackage{graphicx}
|
|
\input{statement/preamble.tex}
|
|
|
|
\title{ Tutorial: Análise de Dados}
|
|
\author{Leetcode 1223}
|
|
\date{}
|
|
\begin{document}
|
|
\maketitle
|
|
O problema pode ser resolvido por meio de uma abordagem de \textbf{programação dinâmica}, onde calculamos o número de sequências válidas de lançamentos de dados até cada posição, levando em consideração qual foi a última face sorteada e quantas vezes ela apareceu consecutivamente.
|
|
|
|
A principal restrição é que cada face \( i \) (\(1 \le i \le 6\)) só pode aparecer no máximo \( d_i \) vezes seguidas. Assim, ao adicionar um novo lançamento à sequência, precisamos garantir que essa condição nunca seja violada.
|
|
|
|
Definimos a seguinte estrutura de DP:
|
|
|
|
\[
|
|
dp[i][j] = \text{número de sequências válidas de comprimento } i \text{ cuja última face lançada é } j
|
|
\]
|
|
|
|
Para lidar com o número de repetições consecutivas, expandimos a ideia considerando blocos consecutivos de uma mesma face.
|
|
Para cada face \( k \), podemos adicioná-la de \(1\) até \(d_k\) vezes, desde que a sequência anterior termine com uma face diferente de \(k\).
|
|
|
|
Assim, a função de transição é dada por:
|
|
\[
|
|
dp[i][k] = \sum_{j \ne k} \sum_{x = 1}^{\min(d_k, i)} dp[i - x][j]
|
|
\]
|
|
onde o termo \(dp[i - x][j]\) representa o número de sequências de comprimento \(i - x\) que terminam com uma face diferente de \(k\), às quais adicionamos \(x\) ocorrências consecutivas da face \(k\).
|
|
|
|
As condições iniciais são:
|
|
\[
|
|
dp[0][j] = 1, \quad \forall j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}
|
|
\]
|
|
representando a sequência vazia inicial, que serve como base para as transições.
|
|
|
|
A resposta final será a soma de todas as formas possíveis de terminar a sequência de comprimento \(n\):
|
|
\[
|
|
\sum_{j=1}^{6} dp[n][j] \bmod (10^9 + 7)
|
|
\]
|
|
|
|
A complexidade temporal dessa solução é \(O(n \times 6 \times \text{max}(d_i))\), pois para cada posição e cada face consideramos até \(d_i\) possíveis comprimentos de repetições.\end{document}
|