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\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
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\input{statement/preamble.tex}
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\title{ Tutorial: Caminho de Menor Soma}
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\author{}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Solução do Problema}
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O problema consiste em encontrar o \textbf{menor custo} necessário para percorrer uma grade (\textit{matriz}) de inteiros positivos.
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A grade possui \( n \) linhas e \( m \) colunas, e cada célula contém um número positivo que representa o custo de passar por ela.
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O objetivo é sair da célula \textbf{superior esquerda} da grade e chegar à célula \textbf{inferior direita}, movendo-se apenas para a \textbf{direita} ou para \textbf{baixo}.
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A soma dos valores das células visitadas deve ser a menor possível.
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Este problema pode ser resolvido de forma eficiente utilizando \textbf{programação dinâmica}.
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\subsection{Definição do Subproblema}
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Seja uma matriz de custos \( C \) de tamanho \( n \times m \). Definimos:
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\[
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dp[i][j] = \text{o menor custo para chegar à célula } (i,j) \text{ a partir de } (0,0).
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\]
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Ou seja, \( dp[i][j] \) representa o custo mínimo para alcançar exatamente a posição \( (i, j) \).
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\subsection{Função de Transição}
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Como só é possível mover-se para a \textbf{direita} ou para \textbf{baixo}, a célula \( (i,j) \) só pode ser alcançada a partir de:
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\begin{itemize}
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\item \( (i-1, j) \): movimento vindo de \textbf{cima};
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\item \( (i, j-1) \): movimento vindo da \textbf{esquerda}.
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\end{itemize}
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Assim, o custo mínimo para chegar a \( (i,j) \) é dado por:
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\[
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dp[i][j] = C[i][j] + \min(dp[i-1][j],\ dp[i][j-1]).
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\]
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\subsection{Casos Base}
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\begin{itemize}
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\item Primeira célula:
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\[
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dp[0][0] = C[0][0]
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\]
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\item Primeira linha (somente movimentos para a direita):
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\[
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dp[0][j] = dp[0][j-1] + C[0][j]
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\]
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\item Primeira coluna (somente movimentos para baixo):
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\[
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dp[i][0] = dp[i-1][0] + C[i][0]
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\]
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\end{itemize}
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\subsection{Construção da Tabela}
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Após inicializar os casos base, preenchermos o restante da matriz \( dp \) utilizando:
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\[
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dp[i][j] = C[i][j] + \min(dp[i-1][j],\ dp[i][j-1]).
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\]
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Ao término do processo, o valor da última posição:
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\[
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dp[n-1][m-1]
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\]
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representa o \textbf{menor custo possível} para ir da célula inicial até a célula final.\end{document}
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