34 lines
2.7 KiB
TeX
34 lines
2.7 KiB
TeX
O problema consiste em determinar o vencedor de um jogo baseado em trocas de elementos adjacentes de uma permutação, o que se traduz em calcular a paridade do número de inversões da sequência inicial.
|
|
|
|
\subsection*{Representação do estado}
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Uma \textbf{inversão} ocorre quando um elemento maior aparece antes de um elemento menor na sequência.
|
|
\item Cada movimento válido no jogo (trocar um par de elementos adjacentes fora de ordem) reduz o número total de inversões em exatamente $1$.
|
|
\item Como o jogo termina quando a sequência está ordenada (zero inversões) e Marcelo faz o primeiro movimento, a vitória depende exclusivamente da paridade das inversões: se for ímpar, Marcelo fará o último movimento e vencerá; se for par, Carlos vencerá.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\subsection*{Estratégia de solução usando Divisão e Conquista (Merge Sort)}
|
|
|
|
Para contar o número de inversões de forma eficiente, evitamos a contagem trivial de comparar todos os pares (que custaria $O(N^2)$) e utilizamos uma adaptação do algoritmo \textit{Merge Sort}.
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Leia o tamanho da sequência ($N$) e armazene a permutação inicial em um vetor.
|
|
\item Crie uma função recursiva baseada no \textit{Merge Sort} que divide o vetor ao meio até que os subvetores tenham tamanho $1$ (onde o número de inversões é $0$).
|
|
\item Na etapa de conquista (\textit{merge}):
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Mantenha dois ponteiros, um para o subvetor da esquerda e outro para o subvetor da direita.
|
|
\item Compare os elementos apontados. Se o elemento da direita for menor que o da esquerda, ele precisará saltar todos os elementos restantes do subvetor da esquerda para ser ordenado.
|
|
\item Nesse caso, adicione ao contador de inversões a quantidade exata de elementos restantes no subvetor da esquerda.
|
|
\item Copie o menor elemento para a posição correta do vetor principal para mantê-lo ordenado.
|
|
\end{itemize}
|
|
\item Após a execução de toda a recursão, avalie o número total de inversões contabilizadas.
|
|
\item Se o número de inversões for ímpar, imprima "Marcelo". Caso contrário, imprima "Carlos".
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\subsection*{Complexidade}
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item \textbf{Espacial:} $O(N)$, devido à criação de vetores temporários auxiliares durante as etapas de intercalação do \textit{Merge Sort}, além de $O(\log N)$ referente ao espaço utilizado pela pilha de chamadas recursivas.
|
|
\item \textbf{Temporal:} $O(N \log N)$. O algoritmo divide a sequência de tamanho $N$ pela metade $\log N$ vezes. Em cada um desses níveis de recursão, a etapa de intercalação percorre os subvetores de forma linear, custando globalmente $O(N)$ por nível.
|
|
\end{itemize} |