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\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
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\input{statement/preamble.tex}
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\title{ Tutorial: Deletar e Ganhar}
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\author{Leetcode 740}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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O problema pode ser resolvido utilizando uma abordagem clássica de \textbf{programação dinâmica}.
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A ideia central é que, ao escolher um número \( x \), ganhamos uma certa quantidade de pontos, mas perdemos a possibilidade de escolher os números \( x - 1 \) e \( x + 1 \), já que eles devem ser removidos da sequência.
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\subsection*{Modelagem}
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Primeiro, agrupamos os números iguais da sequência e calculamos o total de pontos que seria obtido caso escolhêssemos todos os elementos de valor \( i \):
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\[
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\text{points}[i] = (\text{quantidade de vezes que } i \text{ aparece}) \times i
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\]
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Assim, o problema passa a ser equivalente a escolher quais valores \( i \) maximizarão a soma total de pontos, respeitando a restrição de que, ao escolher \( i \), não podemos escolher \( i-1 \) nem \( i+1 \).
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\subsection*{Definição da DP}
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Definimos:
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\[
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dp[i] = \text{pontuação máxima possível utilizando apenas os números de } 1 \text{ até } i
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\]
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\subsection*{Função de Transição}
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A cada passo, temos duas escolhas:
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Não escolher} o número \( i \): nesse caso, o resultado é o mesmo que \( dp[i - 1] \);
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\item \textbf{Escolher} o número \( i \): ganhamos \( \text{points}[i] \), mas não podemos utilizar \( i - 1 \), então somamos com \( dp[i - 2] \).
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\end{itemize}
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A função de transição é, portanto:
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\[
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dp[i] = \max(dp[i - 1], \, dp[i - 2] + \text{points}[i])
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\]
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\subsection*{Casos Base}
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\[
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dp[0] = 0, \quad dp[1] = \text{points}[1]
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\]
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\subsection*{Resposta Final}
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A pontuação máxima possível é:
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\[
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dp[m]
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\]
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onde \( m \) é o maior valor presente na sequência original.
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\subsection*{Complexidade}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Tempo:} \( O(m) \), onde \( m \) é o valor máximo na sequência;
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\item \textbf{Espaço:} \( O(m) \), podendo ser otimizado para \( O(1) \) se armazenarmos apenas os dois últimos estados da DP.
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\end{itemize}\end{document}
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