38 lines
1.9 KiB
TeX
38 lines
1.9 KiB
TeX
O problema pode ser resolvido utilizando uma abordagem de \textbf{programação dinâmica}, na qual calculamos, passo a passo, o número de formas possíveis de decodificar a sequência até cada posição.
|
|
|
|
A ideia é que cada dígito (ou par de dígitos consecutivos) da sequência pode representar uma letra do alfabeto latino, desde que o valor correspondente esteja entre $1$ e $26$. Assim, precisamos contar todas as maneiras válidas de interpretar a sequência numérica.
|
|
|
|
Definimos uma estrutura de DP com dois estados para cada posição $i$:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $dp[i][0]$: número de mensagens possíveis terminando no caractere $i$ \textbf{quando o dígito atual não é concatenado} com o anterior;
|
|
\item $dp[i][1]$: número de mensagens possíveis terminando no caractere $i$ \textbf{quando o dígito atual é concatenado} com o anterior.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
A transição entre os estados é definida da seguinte forma:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Se o dígito atual $s[i]$ está entre $1$ e $9$, ele pode ser interpretado como uma letra individual. Logo:
|
|
\[
|
|
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1]
|
|
\]
|
|
\item Se a combinação dos dois últimos dígitos $s[i-1]s[i]$ forma um número entre $10$ e $26$, então esses dois dígitos podem ser interpretados como uma única letra:
|
|
\[
|
|
dp[i][1] = dp[i - 2][0] + dp[i - 2][1]
|
|
\]
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
A base da recorrência é:
|
|
\[
|
|
dp[0][0] = 1, \quad dp[0][1] = 0, \quad dp[1][0] = 1, \quad dp[1][1] = 0
|
|
\]
|
|
pois antes de processar qualquer caractere há exatamente uma maneira “vazia” de formar uma mensagem válida, e o primeiro dígito pode, no máximo, representar uma única letra isolada.
|
|
|
|
O resultado final é dado pela soma:
|
|
|
|
\[
|
|
dp[n][0] + dp[n][1]
|
|
\]
|
|
|
|
onde $n$ é o comprimento da sequência de entrada.
|
|
|
|
Essa solução possui complexidade de tempo e espaço $O(n)$, podendo ser otimizada para $O(1)$ espaço se armazenarmos apenas os últimos dois estados necessários para o cálculo.
|