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\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
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\pagenumbering{gobble}
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\title{ Tutorial: K-esimo Um}
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\author{Codeforces EDU}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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Uma árvore de segmentos permite manter, para cada intervalo, quantos valores 1
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existem nele.
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Na construção inicial, cada folha guarda o valor do elemento correspondente do
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vetor. Cada vértice interno guarda a soma dos dois filhos, ou seja, a quantidade
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de valores 1 no intervalo representado por esse vértice.
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Para inverter uma posição $i$, alteramos a folha correspondente de 0 para 1 ou
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de 1 para 0. Em seguida, recalculamos as somas no caminho da folha até a raiz.
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Essa operação custa $O(\log N)$.
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Para encontrar o $k$-ésimo valor 1, descemos pela árvore a partir da raiz. Seja
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$L$ a quantidade de valores 1 no filho esquerdo:
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\begin{itemize}
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\item se $L > k$, então o $k$-ésimo 1 está no filho esquerdo;
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\item caso contrário, ele está no filho direito, e passamos a procurar o
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$(k-L)$-ésimo 1 dentro desse filho.
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\end{itemize}
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Quando chegamos a uma folha, seu índice é a resposta da consulta. A busca também
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custa $O(\log N)$.
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Assim, a complexidade total é $O((N+M)\log N)$ em tempo e $O(N)$ em memória.
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\end{document}
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